Olympic Vật lý toàn Liên minh lần thứ XXI

52

Ngày thứ hai
lớp 8
5. Các số dương a, b, c, A, B, C thỏa mãn điều kiện: a+A=b+B=c+C=k. Chứng minh rằng
$$aB+bC+cA < k^2.$$
D. Flaas
6.* Trong mỗi ô của bảng vuông 1987×1987 có một số không vượt quá modulo 1. Trong mỗi ô vuông 2×2 bất kỳ của bảng này tổng các số bằng 0. Chứng minh rằng tổng các số trong bảng không vượt quá 1987.
A. Merkuryev
7. Đỉnh B của góc ABC nằm ngoài đường tròn, các tia BA và BC cắt nhau. Từ giao điểm K của tia BA và đường tròn kẻ một đường thẳng vuông góc với phân giác của góc, cắt đường tròn tại các điểm K và P, và tia BC tại điểm M. Chứng minh rằng đoạn PM dài gấp đôi đường vuông góc kẻ từ tâm đường tròn đến phân giác của góc ABC.
S. Duzhin
8.* Hai người chơi lần lượt viết các số tự nhiên không vượt quá p lên bảng. Luật chơi cấm viết ước số của các số đã viết sẵn lên bảng. Người chơi không thể thực hiện thêm nước đi khác sẽ thua.
a) Tìm ra người chơi nào có chiến lược thắng với p=10 và chỉ ra chiến lược đó.
6) Tìm hiểu xem người chơi nào có chiến lược chiến thắng với p=1000.
D. Fomin
lớp 9
5. Mỗi buổi tối, trong số 33 anh hùng, chú Chernomor phân công 9 hoặc 10 người làm nhiệm vụ theo ý mình. Sau bao nhiêu ngày nhỏ nhất thì mỗi anh hùng đều đi làm nhiệm vụ với số lần như nhau?
V. Iblev
6.* Một tập hợp các nút không trống được đánh dấu trên một mạng số nguyên. Ngoài ra, một tập hữu hạn các vectơ không trống có tọa độ nguyên được đưa ra. Được biết, nếu tất cả các vectơ đã cho được vẽ từ bất kỳ nút dịch chuyển nào, thì giữa các đầu của chúng sẽ có nhiều nút dịch chuyển hơn các nút không dịch chuyển. Chứng minh rằng có vô số nút dịch chuyển.
D. Flaas
7. Một p-giác lồi (p ≥5) được cắt dọc theo tất cả các đường chéo. Chứng minh rằng trong số các phần thu được, bạn sẽ tìm thấy các phần thuộc các diện tích khác nhau.
A. Anjan
8. Tập T₀ bao gồm tất cả các số có dạng (2^k)!, trong đó k=0, 1, 2, …, 1987, tập T₀ có được bằng cách thêm vào tập T₀-1 tất cả các số có thể biểu thị dưới dạng tổng của một số số khác nhau từ T₀-1. Chứng minh rằng mặc dù một số tự nhiên không thuộc tập T₁987.
S. Konyazin
lớp 10
5. Xem bài toán 8 cho lớp 8.
6.* Đồ thị của hàm số y=f(x) xác định toàn bộ trục số, biến thành chính nó khi quay một góc π/2 quanh gốc tọa độ.
a) Chứng minh rằng phương trình f(x)=x có đúng một lời giải.
6) Cho một ví dụ về một chức năng như vậy.
A. Klyushin
7. Tất cả các mặt của khối đa diện lồi đều là hình tam giác. Chứng minh rằng mỗi cạnh của khối đa diện này có thể được tô màu đỏ hoặc xanh để người ta có thể đi từ bất kỳ đỉnh nào của nó đến bất kỳ đỉnh nào khác bằng cách chỉ nhìn vào các cạnh màu đỏ và cũng chỉ nhìn vào các cạnh màu xanh.
O. Lyashko
8. Chứng minh rằng với mọi giá trị tự nhiên của n bất đẳng thức sau là đúng:
$$2n+1 \geqslant (2n)^n+(2n-1)^n.$$
Yu. Nestrenko

Olympic Vật lý toàn Liên minh lần thứ XXI
A. R. ZILVERMAN

Năm nay, chặng cuối cùng của Olympic Vật lý toàn Liên đoàn dành cho học sinh vật lý được tổ chức tại thành phố Tallinn từ ngày 15 đến ngày 21 tháng 4. Lễ khai mạc Olympic diễn ra vào ngày 16 tháng 4 và ngay ngày hôm sau, các thí sinh đã viết vòng lý thuyết. Dưới đây là các điều kiện lý thuyết bài toán (như đã biết, một phần trong số bài toán này đã được đăng trong Bài toán «Kvant» trong hai số trước của tạp chí):
lớp 8

1. Một quả bóng nhỏ đàn hồi được thả từ độ cao H = 1 m so với mặt sàn và một tấm cứng được cố định trên đường đi của nó, từ đó nó mở ra. Quả bóng sẽ có tốc độ bao nhiêu khi chạm sàn? Đĩa phải được đặt như thế nào để quả bóng chạm sàn càng xa điểm xuất phát càng tốt? Khoảng cách tối đa này là bao nhiêu?
2. Papa Carlo đã làm một chiếc mũ cho Pinocchio từ thiếc mỏng. Mũ có dạng hình nón có chiều cao H=20 cm với góc a=60° ở đỉnh. Liệu chiếc mũ này có đội được trên đầu Pinocchio không nếu đầu cậu bé là một quả bóng nhẵn có đường kính d=15 cm?
3. Trong khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm, sinh viên hạ nồi hơi vào bình chứa nước, cắm vào mạng và bắt đầu ghi lại nhiệt độ cứ sau 3 phút. Dữ liệu từ thí nghiệm này như sau:
   $$25,2^\circ - 26,4^\circ - 27,6^\circ - 28,7^\circ - 29,7^\circ - 30,6^\circ - 31,5^\circ - 32,3^\circ - 33,1^\circ.$$
   Sau đó, ông làm nguội nước bằng cách đặt một mẫu kim loại nhỏ vào bình, và một lần nữa

53

đã tiến hành thí nghiệm. Dưới đây là kết quả của thí nghiệm này:
$$22,6^\circ - 23,8^\circ - 25,0^\circ - 26,0^\circ - 27,0^\circ - 28,0^\circ - 28,9^\circ - 29,8^\circ - 30,6^\circ.$$
Xác định nhiệt của mẫu từ những dữ liệu này. Điện áp nguồn $U=35$ V, dòng điện qua lò hơi $I=0,2$ A, nhiệt độ phòng $t=+20^\circ C$.

4. Để nghiên cứu pin năng lượng mặt trời, một vôn kế đa dải được sử dụng (nó bao gồm một microampe nhạy và một bộ điện trở bổ sung). Kết nối nó với pin ở giới hạn 1 V, chúng ta nhận được số đọc $U_1=0,7$ V. Chuyển vôn kế ở giới hạn 10 V, chúng ta nhận được $U_2=2,6$ V. Điều gì sẽ xảy ra ở giới hạn 100 V? Được biết, dưới sự chiếu sáng liên tục, pin mặt trời hoạt động giống như một nguồn thông thường, trong đó một điện trở có điện trở cao được mắc nối tiếp.

lớp 9

1. Một sợi dây dài mỏng có vật nặng ở đầu được ném qua một ròng rọc và buộc vào mũi của một chiếc thuyền mô hình có thể trôi dọc theo một dòng nước dài thẳng (hình 1). Con thuyền được bắn đi và tốc độ của nó (tính bằng cm/s) được ghi lại dưới dạng giây judu. Thật không may, chỉ có phần cuối của mục này được lưu:
   $$5,65 - 6,44 - 6,96 - 7,31 - 7,54 - 7,70 - 7,80 - 7,86 - 7,91 - 7,94 - 7,96 - 7,97.$$
   Sử dụng những số liệu này, hãy xác định vận tốc của thuyền sau 0,1 giây kể từ khi nó được thả ra.

2. Nếu bạn mở hoàn toàn vòi nước lạnh và vòi nước nóng đóng (hình 2), thì bồn sẽ đầy nước trong $\tau_1=8$ phút, và nếu bạn gắn vòi có vòi sen ở đầu vào ổ cắm, thời gian này sẽ tăng lên $\tau_2=14$ phút. Khi vòi nước lạnh đóng và vòi nước nóng mở hoàn toàn, thời gian đổ đầy bồn tắm là $\tau_3=12$ phút. Tương tự, nhưng có vòi sen ở cuối, mang lại $\tau_4=18$ phút. Hỏi nếu mở cả hai vòi thì bao lâu sẽ đầy nước trong bồn tắm? Và nếu cùng lúc đó một vòi có vòi sen được gắn vào?

3. Một bình mỏng liên tục được bơm ra ngoài bởi trầm tích, nhưng do sự hiện diện của vi tiếp nhận trên thành bình, áp suất không đổi $p_y=0,001$ mmHg được thiết lập trong đó. Nghệ thuật. Bên ngoài, áp suất khí quyển ở mức bình thường - $p_0=760$ mmHg. Nghệ thuật, độ ẩm không khí tương đối $\varphi=80\%$. Tìm áp suất hơi nước trong bình. Áp suất hơi bão hòa của nước ở nhiệt độ nhất định là $p_H=17,5$ mmHg. Nghệ thuật.

4. Để làm sạch không khí khỏi bụi, trong điều kiện bình thường, bụi lắng xuống rất chậm, bạn có thể sử dụng thực tế là các hạt bụi được tích điện. Trong thí nghiệm đầu tiên, một hình trụ thủy tinh (có chiều cao $H=1$ m và bán kính đáy $R=0,1$ m) tiếp xúc với bụi được đặt trong một điện trường có cường độ $E_1=1 \cdot 10^4$ V/m, hướng dọc theo trục của hình trụ. Sau thời gian $\tau=2$ phút, toàn bộ bụi có trong xi lanh lắng xuống đáy. Trong thí nghiệm thứ hai, một sợi dây mỏng được kéo dọc theo trục của hình trụ và nối với nguồn điện áp cao. Được biết, trong trường hợp này có sự căng thẳng. Điện áp nguồn được chọn sao cho điện áp điện trường trên thành trụ, như trong thí nghiệm đầu tiên, là $E_1$. Xét các hạt bụi giống nhau và các hạt bụi giống nhau, hãy xác định thời gian để tất cả bụi lắng xuống thành ống trụ trong thí nghiệm thứ hai. Có rất ít bụi trong không khí nên có thể tránh được điện tích không gian.

5. Trong mạch hiển thị ở hình 3, ampe hiển thị $I_1=20$ mA. Nếu pin $E_x$ được bật ngược lại, dòng điện sẽ tăng lên $I_2=35$ mA. Hỏi mạch điện ban đầu sẽ tiêu thụ bao nhiêu dòng điện nếu bóng đèn bị đoản mạch? Đặc tính vôn kế của bóng đèn được biểu diễn ở hình 4.

lớp 10

1. Theo một trong những giả thuyết, các hạt sao được hình thành từ cơ chế môi trường (bụi vũ trụ) bằng cách lăn dưới tác dụng của lực hấp dẫn. Ước tính thời gian xử lý các ngôi sao từ đám mây bụi vũ trụ hình cầu khổng lồ với mật độ $\varphi=2 \cdot 10^{-20}$ g/cm$^3$. Chúng ta có thể giả sử rằng khi lăn, các hạt không đuổi kịp nhau. Hằng số hấp dẫn $G=6,67 \cdot 10^{-11}$ N·m$^2$/kg$^2$.

2. Một trong những cuốn tiểu thuyết khoa học viễn tưởng mô tả tình huống trong đó một tên lửa photon mất hoàn toàn tốc độ khi ở gần một ngôi sao lớn. Nguồn cung cấp nhiên liệu chỉ đủ để đi vào quỹ đạo tròn quanh ngôi sao chỉ bằng một lần khởi động động cơ. Nhưng điều này không loại bỏ được các phi hành gia. Họ sử dụng phương pháp này: trong một thời gian ngắn họ tiêu thụ 3/4 nhiên liệu và

54

họ lái con tàu vào quỹ đạo chạm vào bề mặt của ngôi sao. Sau đó, họ bật lại động cơ trong một thời gian ngắn. Con tàu cách tâm ngôi sao bao nhiêu vào thời điểm bắt đầu di chuyển, nếu chỉ có đủ nhiên liệu để thoát khỏi trường hấp dẫn của ngôi sao? Bán kính của ngôi sao là $R$.

3. Xem bài toán 3 cho lớp 9.

4. Trong sơ đồ hiển thị ở hình 5, phím $K$ bị đóng. Tìm cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây $L$. Đồng thời tìm điện áp cực đại trên tụ $C_1$. Sự vô dụng của các phần tử mạch có thể được chuyển đổi.

5. Đèn tích điện được mắc nối tiếp vào mạng điện áp xoay chiều (220 V, 50 Hz) bằng điện trở có điện trở $R=100$ Ohm và một diode được mắc song song với đèn. Giả sử một diode lý tưởng, ví dụ, đồ thị của dòng điện qua bóng đèn theo thời gian. Tìm công suất do bóng đèn tỏa ra. Đặc tính dòng điện-điện áp của bóng đèn được lấy ở dòng điện một chiều được thể hiện ở hình 6.

Khi chọn các phương pháp bài toán, trước tiên hoa hồng thường đảm bảo rằng tùy chọn đó chứa bài toán những khó khăn khác nhau - từ khá đơn giản đến rất phức tạp. (Điều này không phải lúc nào cũng hoàn toàn thành công - việc thay đổi các phần liên quan đến độ khó bài toán đôi khi không trùng với quan điểm của ủy ban và ủy ban thường có xu hướng chuyển sang độ khó bài toán. Tuy nhiên, điều ngược lại lại xảy ra.)

Lần này, đúng như dự đoán, các phần bài toán 8.2, 9.2, 9.4, 10.1, 10.4 và 10.5 hóa ra khó hơn. Những cái tương đối đơn giản là bài toán 8.1, 8.4, 9.1, 9.5 và 10.3.

Thủ tục thực tế để tổ chức Olympic không có gì thay đổi so với năm ngoái nên chúng tôi sẽ không mô tả chi tiết công việc của ban giám khảo (bạn có thể đọc về điều này trong số 11 của “Kvat” năm ngoái).

Chủ nhật ngày 19/4, chuyến tham quan thử nghiệm đã diễn ra. Người tham gia được đề xuất bởi bài toán, được chuẩn bị bởi chủ nhà của Olympic - các nhà khoa học người Estonia. Tôi muốn lưu ý hai trong số đó không yêu cầu thiết bị phức tạp. Chúng có thể được lặp lại không chỉ ở văn phòng mà còn ở nhà.

Việc đầu tiên được thực hiện bởi các học sinh lớp tám. Họ được đưa cho những hình đa giác không đều được cắt từ một tấm kim loại và họ phải xác định tỷ lệ khối lượng của chúng khi không có trọng lượng. Bạn có thể sử dụng thước kẻ (bằng gỗ), giấy và bút chì. Hãy tự mình thử nó. Điều tò mò là độ chính xác có thể đạt được rất tốt - lên tới 1-2%.

bài toán thứ hai được cung cấp cho học sinh lớp chín. Nó được biết đến khá rộng rãi bài toán về một veverveke dài được ném qua một khối và cuộn thành cuộn ở hai bên của khối trên các giá đỡ nằm ở các độ cao khác nhau. Trong bài toán này, cần phải xác định tốc độ thiết lập “chảy” qua khối. Những người thử nghiệm được yêu cầu xác định không chỉ tốc độ này (và sự phụ thuộc của nó vào chênh lệch độ cao), mà còn cả chiều dài thẳng đứng tối thiểu mà chuyển động sẽ được thiết lập và thời gian lắp đặt. Nếu bạn tự mình thực hiện công việc thì hãy lấy một sợi dây mỏng màu trắng dài 5-10 mét; một khối là không cần thiết - một thanh tiêu chuẩn sẽ thay thế nó nếu ma sát không lớn. Điều thú vị nhất về bài toán này là giải thích sự khác biệt lớn hơn giữa đáp số $v = \sqrt{gH}$ về mặt lý thuyết và kết quả thử nghiệm.

Ngoài các vòng thi lý thuyết và thực nghiệm lời giải bài toán, người tham gia còn được mời tham gia bài toán do chủ nhà Olympic - các nhà khoa học người Estonia chuẩn bị. Tôi muốn lưu ý hai trong số đó không yêu cầu thiết bị phức tạp. Chúng có thể được lặp lại không chỉ ở văn phòng mà còn ở nhà.

Bạn có thể đọc phần thưởng của những người chiến thắng Olympic đã nhận được bằng cấp I, II và III trong số báo này của ban giám khảo. Nhưng họ không phải là những người duy nhất nhận được giải thưởng - ban giám khảo còn trao nhiều giải đặc biệt. Theo truyền thống lâu đời, giải thưởng được trao cho một phần của Olympic đến từ điểm tách biệt nhất (với Tallinn) ở nước ta - E. Ermolov đến từ vùng Sakhalin. nhất