Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XXI

50

Olympic Toán Quốc gia lần thứ XXI

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học V. V. VAVILOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học S. V. REZNICHENKO,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học A. M. SLINKO

Giai đoạn cuối cùng của Olympic Toán học toàn Liên minh lần thứ XXI dành cho học sinh được tổ chức vào tháng 4 năm 1987 tại Frunze. 29 đội đã tham gia: 14 đội từ các nhóm tài nguyên chung, các đội từ bốn khu vực của RSFSR, Moscow và Leningrad, cũng như 8 đội từ các trường vật lý và toán học chuyên ngành và nhóm Frunze. Tổng cộng có 162 học sinh tham gia Olympic: 3 học sinh lớp bảy, 43 học sinh lớp tám, 58 học sinh lớp chín và 58 học sinh lớp mười (học sinh lớp bảy quyết định bài toán, đề xuất cho học sinh lớp tám).

Lễ khai mạc Olympic diễn ra vào ngày 12/4 tại rạp chiếu phim V.I. Bảo tàng Lênin, và trước đó, những người tham gia Olympic đã đặt hoa tại tượng đài V.I. Lênin. Bộ trưởng Bộ Giáo dục Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Kyrgyzstan M.V. Bazarkulov, người đứng đầu bộ phận trường học, cơ sở khoa học và giáo dục của Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Kyrgyzstan A.A. Akayev, nhà phương pháp học cao cấp của Hội đồng phương pháp khoa học của Minipros của SSR T.A. Sarycheva, trưởng ban thanh niên học đường của Ủy ban Trung ương Komsomol Kyrgyzstan

L. M. Skudina, chủ tịch ban giám khảo, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraina V. V. Gnedenko, phó. Phó Chủ tịch Ban giám khảo Giám đốc Viện Toán học thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Kyrgyzstan, Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học A. N. Botashev và những người khác. Bộ trưởng Bộ Giáo dục Liên Xô S.G. Sherbkov đã gửi lời chào đến những người tham gia Olympic bằng văn bản.

Ngay từ những phút đầu tiên ở vùng đất hiếu khách Kyrgyzstan và trong suốt toàn bộ Thế vận hội, những người tham gia đã được bao quanh bởi sự nồng nhiệt và sự quan tâm của các hộ gia đình, điều này đã biến Olympic thành một lễ kỷ niệm thực sự của các nhà toán học trẻ. Chương trình của Olympic bao gồm buổi tối hữu nghị truyền thống giữa các dân tộc Liên Xô, cuộc gặp gỡ với các nhà khoa học và nhân viên tài nguyên tại các doanh nghiệp hàng đầu, thăm các nhà hát và du ngoạn. Những người tham gia sẽ nhớ rất lâu chuyến tham quan đến Hẻm núi Ala-Archa, nơi tọa lạc của Người leo núi toàn núi.

Giai đoạn cuối cùng của Olympic theo truyền thống được tổ chức thành hai vòng, được tổ chức vào ngày 13 và 14 tháng 4. Ở mỗi vòng, học sinh được đưa ra bốn bài toán, với lời giải trong đó có năm giờ được phân bổ. Dưới đây là các điều kiện của tất cả bài toán Olympic, cho biết tác giả đã đề xuất bài toán (ngôi sao được đánh dấu bài toán, phổ biến nhất và được bao gồm trong Bài toán Kvant).

Sau khi kiểm tra các tác phẩm, ban giám khảo Olympic đánh giá từng tác phẩm bài toán trong

51

điểm (xem Bảng 1); điểm cao nhất là nửa nhiệm vụ được hoàn thành với số lượng người tham gia ít nhất. Sau đó, tại cuộc họp cuối cùng của ban giám khảo, các tiêu chí đã được xây dựng trên cơ sở trao giải I, II và III cho những người tham gia Olympic (xem Bảng 2, trong đó số điểm được ghi trong ngoặc đơn). Khó nhất bài toán hóa ra là bài toán vào ngày thứ hai năm lớp 9: bài toán cuối cùng (thứ tám) không được bất kỳ người tham gia Olympic nào giải quyết hoàn toàn.

Chương trình Olympic cũng bao gồm một cuộc thi toán học giữa một đội tham gia và một đội gồm các thành viên của Jorri. Lần này, trong một cuộc đấu tranh gay gắt, đội ngũ ban giám khảo, dẫn đầu là người chiến thắng trong nhiều cuộc thi Olympic cấp trường, giáo viên MSU S.V. Konagin, đã thắng. Các “trò chơi máy tính” rất thú vị và hấp dẫn.

Ngày 13/4 đã diễn ra cuộc họp của các thí sinh tham gia Olympic với các thành viên ban biên tập tạp chí «Kvant»: phó. tổng biên tập tạp chí Yu. P. Solovyov, các thành viên ban biên tập A. P. Savin và V. V. Vavilov và thành viên ban biên tập G. N. Ykovlev. Tại cuộc họp này, những người tham gia đã nhận được đáp số cho những câu hỏi mà họ quan tâm và đưa ra nhận xét về nội dung của các tài liệu đã được đăng trên tạp chí, cũng như một số gợi ý về chủ đề của các bài báo và thiết kế của tạp chí trong tương lai.

Tám ngày của Thế vận hội trôi qua nhanh chóng và không thể nhận thấy, nhưng các chàng trai vẫn giữ được kỷ niệm đẹp về nó trong nhiều năm.

Bài toán
Ngày đầu tiên
lớp 8

1. Mười vận động viên đã tham gia quần vợt thực sự ở Turin. Mỗi người trong số họ chơi đúng một trò chơi với nhau. Người chơi đầu tiên đã giành được $x_1$ chiến thắng và chịu $y_1$ thất bại trong suốt giải đấu, người thứ hai giành được $x_2$ chiến thắng và chịu $y_2$ thất bại, v.v. Chứng minh rằng
   $$x_1^2 + \dots + x_{10}^2 = y_1^2 + \dots + y_{10}^2.$$
   A. Anjan

2. Được biết, với sự trợ giúp của bộ 6 quả cân, người ta có thể cân được 63 quả cân, các quả cân là các số tự nhiên liên tiếp. Tìm tất cả các tập hợp như vậy.
   A. Slinko

3. Cho một hình bảy cạnh đều $A_1A_2\dots A_7$. Chứng minh rằng
   $$\frac{1}{A_1A_2} = \frac{1}{A_1A_3} + \frac{1}{A_1A_4}.$$
   M. Rosenberg

4. Trò chơi Battleship diễn ra trong một hình vuông gồm $7 \times 7$ ô. Số phần nhô ra tối thiểu phải được thực hiện là bao nhiêu để chắc chắn có thể làm bị thương bốn tàu cộng hòa nếu biết rằng nó
   a) có dạng []?

6. bao gồm bốn ô liền kề nhau?
   A. Kholodov

lớp 9

1. Chứng minh rằng không có số tự nhiên $n$
   $$1^{1987} + 2^{1987} + \dots + n^{1987}$$
   không chia hết cho $n + 2$.
   D. Mitkin

2. Số nhỏ nhất của một hình có dạng là bao nhiêu
   cần phải được đặt trong một hình vuông có $8 \times 8$ ô để không thể đặt thêm những mảnh như vậy vào đó mà không bị chồng lên nhau?
   A. Berzinysh

3. Ba đường thẳng liền kề được vẽ song song với các cạnh của tam giác. Mỗi đoạn gốc được loại bỏ khỏi cạnh mà chúng song song ở khoảng cách bằng chiều dài của cạnh này. Hơn nữa, đối với mỗi cạnh của tam giác, đỉnh song song với nó và đỉnh đối diện với cạnh này nằm ở các cạnh đối diện của nó. Chứng minh rằng giao điểm của các cạnh mở rộng của tam giác với đỉnh của các đường thẳng đã vẽ nằm trên cùng một đường tròn.
   V. Chinnik

4. Có hai đường đứt nét khép kín trên mặt phẳng, mỗi đường có số liên kết lẻ. Tất cả các bầu cử sơ bộ chứa các liên kết của những đường đứt nét này đều khác nhau và không có ba đường nào trong số chúng giao nhau tại một điểm. Chứng minh rằng từ mỗi đường đứt đoạn có thể chọn được một mắt xích sao cho chúng là các cạnh đối diện của một tứ giác lồi nhất định.
   A. Serdyukov, D. Flaas

lớp 10

1. Tìm một tập hợp gồm năm số tự nhiên khác nhau trong đó hai số bất kỳ là nguyên tố cùng nhau và một số số bất kỳ cộng lại thành một hợp số.
   N. Adkhanov

2. Chứng minh rằng nếu trong ngũ giác lồi $ABCDE$ đẳng thức $\angle ABC = \angle ADE$ và $\angle AEC = \angle ADB$ giữ nguyên thì $\angle BAC = \angle DAE$.
   N. Serdtseev

3. Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$, với mỗi giá trị đó chuỗi
   $$\cos \alpha, \cos 2\alpha, \cos 4\alpha, \cos 8\alpha, \dots$$
   chỉ gồm các số âm.
   V. Salikhov

4. Trong một hình vuông có kích thước 1987×1987 ô, một ô ngẫu nhiên được cắt ra. Chứng minh rằng phần còn lại luôn có thể cắt thành các “góc” ba ô có dạng
   R. Sân khấu