XXI Всесоюзная олимпиада по математике

50

XXI Всегоозная олимпиада по математике

Кандидат физико-mатематических наук В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-mатематических наук С. В. РЕЗНИЧЕНКО,
кандидат физико-mатематических наук А. М. СЛИНЬКО

Заключительный этап XXI Всегоозной математической олимпиады школьников проходил в апреле 1987 года во Фрунзе. В нем приняли участие 29 команд: 14 команд соозных ресурсных, командные четырех зон РСФСР, Москвы и Ленинграда, а также 8 команд специализированных физико-mатематических школ и команда Фрунзе. Всего в олимпиаде участвовали 162 школьника: 3 семиклассика, 43 восемиклассика, 58 девятиклассиков и 58 десятиклассиков (семиклассики решили задачи, предложенные для восемиклассиков).

Торжественное открытие олимпиады состоялось 12 апреля в здании фильма музея В. И. Ленина, а назад до него участвовали олимпиады возложили цветы к памятнику В. И. Ленину. С темыми словами привелствия, пожеланиями успешного выступления и честиго соперничества к участвам олимпиады прие открытии обратились министр просвещения Киргизской ССР М. В. Базаркулов, заведующий отделом школа, науки и учебных заведений ЦК КП Киргизии А. А. Акаев, старший методист Ученого методического совета Минипроса ССР Т. А. Сарычева, заведующая отделом школьной молодежи ЦК ЛКСМ Киргизии

Л. М. Скудина, председатель жюри академик АН УССР В. В. Гнеденко, зам. председателя жюри зам. директора института математики АН Киргизии доктор физико-mатематических наук А. Н. Боташев и другие. С письменным приветствием к участвкам олимпиады обратился министр просвещения СССР С. Г. Шербаков.

С первых минут пребывания на гостеприимной земле Киргизии и на протяжении всей олимпиады участвники были окружены теплотой и вниманием хозяйств, превращенных олимпиаду в настоящий праздник юных математиков. В программу олимпиады входили ставшие традиционными вечер друзьбы народов СССР, встреча с учеными и передовками предприятий ресурсники, посещения театров и экскурсии. Надолго запомнить участвкам экскурсия в Ала-Арчинское ущелье, где нахождение Всегоозный альплагер.

Заключительный этап олимпиады по традиции проводился в два тура, состоявшиеся 13 и 14 апреля. На каждом из них школьник был предложено по четыре задачи, на решение которых отводилось по пять часов. Ниже приводятся условия всех задач олимпиады с указанием автора, предложившего задачу (звездочный отчеченный задачи, наиболее понавшийся участвам и вошедшие в Задачник «Кванта»).

После проверки работ жюри олимпиады оценило каждую задачу в

51

баллах (см. табл. 1); наивысший балл получазадача, с которой справилось наименьшее число участников. Затем на итоговом заседании жорри были выработаны критерии, на основании которых присуждались I, II и III прими участникам олимпiadы (см. табл. 2, в котором в скобках указано число баллов). Наболее трудными задачи оказались задачи второго дня в 9 классе: последнюю (восмую) задачу не решил полностью ни один участник олимпiadы.

В программу олимпiadы входили также Математический бой между командой участников и командой, составленной из членов жорри. На этот раз в упорной борьбе победила команда членов жорри, которое возглавил победитель многих школьных олимпiad приодаватель МГУ С. В. Конагин. Очень интересно и увлекательно прошли «компьютерные игры».

13 апреля состоялась встреча участников олимпiadы с членами редколлегии жорнала «Квант»: зам. главного редактора жорнала Ю. П. Соловьевым, членами редколлегии А. П. Савиным и В. В. Вавиловым и членом редактионного совета Г. Н. Яковлевым. На этой встрече участники получили ответы на интересующие их вопросы и высказали сообщения о содержании уже опубликованных в жорнале материалов, а также некоторые предложения по тематике статей и оформлению жорнала в будущеем.

Быстро и незаметно пролетели восем дней олимпiadы, но добрую память о ней ребята сохраняют на долге годы.

Задачи
Первый день
8 класс

1. Десять спортеменов участовали в турине по настоящому тенису. Каждый два из них сыграли между собойровно одну партию. Перый игрок одержал в ходе турира $x_1$ побед и потерпел $y_1$ поражений, второй одержал $x_2$ побед и потерпел $y_2$ поражений и так далее. Докажите, что
   $$x_1^2 + \dots + x_{10}^2 = y_1^2 + \dots + y_{10}^2.$$
   А. Анджанс

2. Известно, что с помощью набора из 6 гирь можно уравновести 63 груза, веса которых является последовательными натуральными числами. Найдите все такие наборы.
   А. Слинько

3. Дан правильный семиугольник $A_1A_2\dots A_7$. Докажите, что
   $$\frac{1}{A_1A_2} = \frac{1}{A_1A_3} + \frac{1}{A_1A_4}.$$
   М. Розенберг

4. Игра «Морской бой» происходит в квадрате $7 \times 7$ клеток. Какое наименьшее число выступлов необходимо сделать, чтобы наверняка ранить четые реплапублики корабль, если известно, что он
   a) имеет вид [ ]?

6. состоит из четырех клеток, примыкающих друг к другу сторонами?
   А. Холодов

9 класс

1. Докажите, что ни при каком натуральном $n$ число
   $$1^{1987} + 2^{1987} + \dots + n^{1987}$$
   не делится на $n + 2$.
   Д. Митькин

2. Какое наименьшее число фигуры вида
   нужно разместить в квадрате $8 \times 8$ клеток, чтобы в него нельзя было больше помещить без наложения ни одной такой фигуры?
   А. Берзиныш

3. Параллельно сторонам треугольника проведены три примыке. Каждый из примых удалена от стороны, который они параллельны, на расстояние, равное длине этой стороны. При этом для каждой стороны треугольника параллельная ей примяем и противоложшая этой стороне вершина расположены по разные стороны от нее. Докажите, что точки пересечения продолженной сторон треугольника с темя проведенными примыми лежат на одной окружности.
   В. Чинник

4. На плоскости даны две замкнутые ломаны, каждая с нечетным числом звенев. Все примые, содержащие звеня этих ломанных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что из каждой ломанной можно выбрать по одному звену так, чтобы они противоположными сторонами неоторого выпуклочого четырехугольника.
   А. Сердюков, Д. Флаас

10 класс

1. Найдите такой набор из пятей различных натуральных чисел, в котором любые два числа взаимно просты, а любые несколько чисел дают в сумме составное число.
   Н. Адханов

2. Докажите, что если в выпуклом пятейугольнике $ABCDE$ имеет место равенства $\angle ABC = \angle ADE$ и $\angle AEC = \angle ADB$, то $\angle BAC = \angle DAE$.
   Н. Сердцеев

3. Найдите все значения $\alpha$, для каждой из которых последовательность
   $$\cos \alpha, \cos 2\alpha, \cos 4\alpha, \cos 8\alpha, \dots$$
   состоит только из отрицательных чисел.
   В. Салихов

4. В квадрате из 1987×1987 клеток вырезана одна произвольная клетка. Докажите, что оставшуюся часть всегда можно разрезать на трехклеточные «уголки» вида
   Р. Стадья