Задачи М1071—М1075; Ф1083—Ф1087

22

Задчи

M1071—M1075, Ф1083—Ф1087

M1071. На доске нарисовано поле для игры в «цифры»: ((((((((((___))*)_))*)_))*)*

Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самоголевого) пробела (___) какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного пробела и заменить стояшую слева звездочку (*) на знак сложения или умножения; при этом ни одна цифра не должна встречаться дважды. В конце игры вычисляется значение полученного выражения. Если это четное число, то выигрывает первый игрок, нечетное — второй. Кто выигрывает приправленный игре?

С. А. Генкин

M1072. Разложите на простые множители число 989·1001·1007+320.

С. В. Фомин

M1073. В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 60°. Доказите, что если $OA_1 > OA_3 > OA_5$ и $OA_2 > OA_4 > OA_6$, то $A_1A_2 + A_3A_4 + A_5A_6 < A_2A_3 + A_4A_5 + A_6A_1$.

А. С. Меркурьев

M1074. Дана стопка из 2n+1 карточек, с которой разрешается произведение следующие две операции:
(A) сверху снимается часть карточек и перекладывает вниз с сохранением порядка;
(B) верхие n карточек с сохранением порядка выкладываются в n промежутков между нижними n+1 карточками.
Доказите, что с помощью указанных операций из исходного расположения карточек в стопке нельзя получить более 2n(2n+1) различных расположений карточек.

Д. В. Фомин

M1075. Найдите наибольшее натуральное число, вдесятчиной записи которого каждой цифре (кроме крайних) строго меньше получимы двух соседних с ней цифр.

С. Е. Рукшин

Ф1083. Оdnородный кирпич $ABCDA'B'C'D'$ (рис. 1) обладает следующим свойством: если разрезать его произвольной плоскостью, проходящей через ребро $AA'$, то каждая из двух частей кирпича, поставленная на новую грань $AEE'A'$ (рис. 2), не падает. Найти соответствия между размерами кирпича, при которых это возможно.

С. В. Шлосман

Ф1084. Если к обмерзшему стеклу на незначительное время прижать пятак, то вдоль края пятaka на стекле протаивает кругок. Почему?

Л. А. Ашкинзи

Ф1085. На рисунке 3 изображен процесс, совершаемый над идеальным газом и переводящей его из состояния A в состояние B. Найдите на графике участки процесса, где температура газа повышается (понижается).

И. Ю. Потеряйко