Математические узоры на плоскости

21

Математические узоры на плоскости

А. Э. ЛОВКОВСКИЙ

В последнее время в прикладной математике появились работы, связанные с исследованием картины, возникших на экране дисплея, если каждую точку плоскости по некоторому правлиу окранить в тот или иной цвет. Правила окрашивания могут быть самые разнообразные.

Алгоритм, рассмотренный здесь, до того прост, что его легко может реализовать на компьютер начинающий программист. Выглядит он так: для точки плоскости $(x; y)$ вычисляется величины $c = [f(x, y)]$, где $f(x, y)$ — выбранная функция координат, а квадратные скобки обозначают целую часть числа; если число $c$ нечетное, точка закрашивается, если четное, то нет.

Вся плоскость при этом разобется на конечные однозвереные области. Размер области уменьшается при удалении от начала координат. Поэтому на компьютер, у которого размеры точки на экран могут быть больше размеров таких области, не всегда можно точно восстановить реальную картину. На самом деле в нашем алгоритме все плоскость разбивается на клетки, и каждая клетка закрашивается тем же цветом, что и ее центр. Поэтому, если на территории клетки было несколько различных области, то полученный рисунок будет отличаться от истинного. Уменьшая размер клетки, т. е. увеличивая масштаб изображения, мы улучшаем точность воспроизведения. Соответствующая программа на языке Beйсик для экрана $X \times Y$ выглядает так:

10 INPUT $S$
20 FOR $x=0$ TO $X$
30 FOR $y=0$ TO $Y$
40 IF (INT($f(x, y)/S$)) mod 2=1 THEN PLOT $(x, y)$
50 NEXT $y$
60 NEXT $x$
Роль масштаба здесь играет величины $S$.

На рисунках, показанных на второй странице обложки, вы видите узоры, получившиеся при разных $S$ для $f(x, y) = x^2 + y^2$ (рис. 1, а—э), $f(x, y) = xy$ (рис. 2, а—э), $f(x, y) = x^2 - y^2$ (рис. 3, а—э).

Ярко выраженная периодичность, которое можно увидеть при малых $S$ на всех графиках, как ни страно,—издержка нашего метода воспроизведения. Перiod на всех картиках равен $S$ при четном $S$ и $2S$ — при нечетном. Докажем это на примере $f(x, y) = x^2 + y^2$. Дейстительно, цвет точки

$$\begin{align*} (x_1; y_1) &= (x + kS; y + lS) \\ (k, l) &= \text{целые числа} \end{align*}$$

определяется выражением:

$$\frac{x_1^2 + y_1^2}{S} = \frac{(x + kS)^2 + (y + lS)^2}{S} = \frac{x^2 + y^2}{S} + S(2k + 2l + k^2S + l^2S).$$

Видно, что дробные части чисел $(x_1^2 + y_1^2)/S$ и $(x^2 + y^2)/S$ совпадают, и поэтому при четном $S$ цвет точки $(x_1; y_1)$ (т. е. четность выражения $[(x_1^2 + y_1^2)/S]$) совпадает с цветом точки $(x; y)$ при любых $k$ и $l$, а при нечетном $S$ только при $k$ и $l$ одной четности. Тот факт, что этот период наименьший, мы предлагаем доказать читателью.

На всех представленных графиках число $S$ — четное. Вы можете сами убедиться, что при нечетном $S$ черные и белые круги будут чердоваться.

Можно без конца любоваться разнообразием, возникшим при таком, казалось бы,primитивном методе построения рисунка. Для $f(x, y) = x^2 + y^2$, кроме ярко выраженного семейства окружностей с периодом $T$, можно видеть еще много (более 10) менее контрастных семейств окружностей, расположенных в узлах квадратной решетки с периодом $T/2, T/3, T/4, T/5, T/7, T/9$ и даже $T/11$. Интересно было бы ответить на такие вопросы: почему возникот «вторичные» окружности, каковы периоды их решеток (если они вообше периодичны) и т. п.

Все сказанное относится также и к графикам $c$ $f(x, y) = xy$ и $f(x, y) = x^2 - y^2$, с той разницей, что на этих рисунках мы видим семейства гипербол.

В заключение хотелось бы пожелать читательу успешно этой интерсейной проблемы, экспериментровании с различными $f(x, y)$, например $x^3 + y^3$ или arctg $(x + y)$.