34
«ВСЕ»,
«НЕКОТОРЫЕ»
И ОТРИЦАНИЕ
А. И. ОРЛОВ
Был у меня недавно интересный разговор с шестиклассником Аликом, центральным направоим футбольной команды нашего двора.
— Что, Алик, бежиш на тренировку? Зимой, небось, сменишь свой футбол на хоккей?
— Ни за что на свете! — воскликнул Алик обженно. — Зимой надо занимать, а не бегать за шайбой. Все хоккейсты плохо учатся,— футболисты учатся гораздо лучше!
— Почему ты так решил?
— А что? Все так считают в нашей команде, не я один.
— А не каждая ли тебе, что ты рассуждаешь сейчас, как печально известные обезьяны из книги Киплинга «Маггли»? Помнишь, они кричали на весь лес: «Мы велики! Мы свободны! Мы достойны восхшениния! Мы все так говорим, значит, это правда! …»
— Это кто же обезьяна?! — возмутился Алик.
— Я не хотел обидеть тебя, Алик, но ссылкой на мнение многих нельзя ничего доказать. Земля круглая, а в древности почти все думали, что она плоская. Индейцы племени сину, как пишет их воjdь Мато Нажин, считали даже, что Земля чет狸гуольная, а было это уже в XIX веке … Так почему же все хоккейсты плохо учатся?
— Ну-y, вот Сережа Кукушкин. Он все время играет в хоккей и все время получает двойки.
— Ты рассуждаешь, как один францез, который говорил: «Все английане низенькие, толстенькие и чернаяbie»,— только потом, что так выглядел единственный личанин, с которой он встречался. Имя и этот францез наушаете законы логики.
Алик задумался, а я решил помочь ему. Для начала расскаазал такую историю.
— В одном городе я видел на доме таблицу: «В нашем доме нет двоеников». На соседнем доме такой таблицы не было. Как по-твоему, Алик, значит ли это, что в соседнем доме все были двоеники?
— Н-нет,— пробормотал Алик неуверенно. Не обязательно. Это значит только, что там есть двоеники … Хотя бы один двоеник … А может быть, и все там учатся на двойки. Нет, не знаю, я ведь не был там!
— А что же ознакомет такая фраза: «Неверно, что среди ребят есть двоеники»?
— Это как в первом доме — все учатся без двоеки.
— Значит, одно из двух,— сказал я удовлетворенно. — Либо все учатся без двоеки, либо в доме есть хотя бы один двоеник. А что можно сказать о любительях шайбы?
И тут выяснились, что Алик может, подумавши, рассуждать правильно.
— Верно одно из двух: либо все хоккейсты плохо учатся, либо не все,— есть хоккейсты, которые учатся хорошо.
— Но даже в твором классе, Алик, я знаю троих отличников, которые любят гонять шайбу. Значит, верно второе: бывают хоккейсты, которые хорошо учатся.
— Ну, конечно!
— А что же тогда ознакомет ты
35
пример с Сережей Кукушкиным?
Алик задумывает.
— Что не все хоккейсты хорошо учается …
Итак, попробовав рассудать логично, Алик сам пришел к правильному выводу.
С двоеникими и хоккейстами мы разобрались сравнительно быстро. Попробуем понять, как следует рассудать в более сложных случаях. Первые пример — с разноцветными шарами. Представим себе, что в urine (небольшим ящике) могут лежать, скажем, белые и красные шары. Все шары одинакового размера и неразличны на опущь. Кто-то опускает руку в urine и вынимает шар. Шар оказывается, к примеру, красным. Что можно сказать о цвете шаров, лежащих в urine?
Некоторые сказут: «Все шары красные». На самом деле это неверно: можно ли утеверждать, что неекоторые (необязательно все) шары красные. Могут быть и белые шары. может быть и так, что вынутый шар — единственный красный средь белых.
Был вынут красный шар. Значит, неверно утеверждение: «Все шары белые». А что верно? — «Некоторые (по крайней мере один) шары красные». Давайте потренируемся. Пусть каждое из следующих утеверждений неверно.
- Все шары в urine красные.
- Некоторые шары в urine красные.
- Некоторые шары в urine белые.
- Все равноведенные треугольники являются прямоугольными.
- Все ученики класса были на собрании.
- Некоторые девочки были на собрании.
Сформулируйте верные утеверждения.
А теперь общая схема решения всех подобных задач — наше «волшебное средство». Пусть у нас есть множество M таких-то объектов (это может быть несколько шаров, или несколько книг, или все ученики какого-то класса). Каждый из элементов этого множество может обладать, а может и не обладать некоторым свойством A. Например, шар может быть красным, а может и не быть; хоккейет — быть или не быть двоениким.
Закон такой: верно может быть либо утеверждение, либо его отрицание. Однако и только одно из двух!
(В логике этот закон называется законом исключенного третьего.) Какое утеверждение, которое мы используем, либо верно, либо неверно.
Любо утеверждение B, либо его отрицание (т. е. утеверждение: «Утеверждение B неверно»). Любо все хоккейсты плохо утеvers (обладают свойством A). Если же это неверно, то хотя бы один хоккейст утеvers хорошо (не обладает свойством A).
Итак, вот наша схема:
Утеверждение
- Все предметы из M обладают свойством A.
- Некоторые предметы из M обладают свойством A.
Его отрицание - Хотя бы один предмет из M не обладает свойством A.
- Все предметы из M не обладают свойством A.
Обратите внимание на то, что утеверждение «некоторые предметы обладают свойством A» и «хотя бы один предмет (а может быть, и все) обладает свойством A» ознакомят в нашей схеме одно и то же.
А теперь — задачи.
Постройте отрицания следующих утеверждений: - Все углы данного шестиугольника тупые.
- Для любого x из множества A выполнен неравенство x² > 4.
- Некоторые люди — детей.
- По крайней мере для одного x из множества A будет x² - 2x + 1 = 0.
- Все мужчины выше 2-х метров.
- Все простые числа — нечетные.
- Для любого простого p число 2ᵉ — 1 тоже простое.
Вернемся к urine, в которой лежат шары, неразличные на опущь. Шары могут быть белого, красного, синего, черного цветов. - Известно, что не все шары в urine белые. Berho ли, что там есть красный шар?
- Известно, что не все шары одного цвета. Berho ли, что в urine есть хотя бы один не белый шар?
- В urine 10 белых, 8 красных, 11 черных шаров. Сколько из них надо вынуть, чтобы наверняка попался белый шар? Чтоы попались шары всех трех цветов?
И еще одна задача — чуть последнее. - В классе 5 отличников, 20 «хорошистов» и 10 треочников. Отличник может получить за ответ только 5, «хорошист» — 4 или 5, треочник — 3, 4 или 5. В классире новый учитель, он не знает никакого из учеников. Сколько человек ему достаюно вызвать к·доске, чтобы наверняка была поставлена хотя бы одна пятерка?
Впервые эта статья была опublikована в федеральском номере «Кванта» в 1976 году.