Закон всемирного тяготения

36

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Закон всемирного тяготения» предназначаена восмиллассикам, «Расширение газа в пустоту» — девятиклассикам, «Электромагнитная индукция и прицили относительной» — десятиклассиком.

Закон всемирного тяготения

Есть люди, чья жизнь и деятельности служат настоящим водоразделом в истории человека. Именно таким человеком был великий английский мыслитель Ньюотон, открывший в 1667 году закон всемирного тяготения. Попробуем воспроизвести соответствующие рассуждания Ньюотона.

Сначала несколько слов о том, что предшествовал открытию. Кеплер, изучая на протяжении ряда лет таблицы движения планет, завищанные ему его учительем Тихо Браге, в начале XVII века формулирует три необыкновенного комплектных и изящных закона (которые теперь называют законами Кеплера):

1. Все планеты движутся вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус, проведенный от Солнца до планеты, «заметает» равные площади в равные промежутки времени.
3. Квадраты перiodов двух планет ($T_1$ и $T_2$) относятся как кубы больших полуосей их орбит ($R_1$ и $R_2$): $T_1^2/T_2^2 = R_1^3/R_2^3$ (или, иначе, $T_1^2/R_1^3 =$ const для всех планет).

Уже из этих законов чувствуется, что Солнце играет какую-то особую роль в «планетной жизни». Однако сам Кеплер, несмотря на мучительные попытки, не смог до конца понять эту роль.

Приблизительно в то же время, когда Кеплер открывает законы движения планет, Галилей формулирует закон инерции, утверждающий, что, если на тело ничего не действует, оно будет двигаться с постоянной скоростью и по прямой.

Вот с этого уровня и стартовал Ньюотон. Прежде всего, развивая идеи Галилея, он задается вопросом: если телам внутренне присущество сохранять свою скорость, то за счет чего же все-tаки она может менять? Отвечая на этот вопрос, он формулирует закон, известный сегодня любому школьнику (второй закон Ньюото-

37

на): для того чтобы изменить скорость тела, надо подействовать на него силой. При этом изменение скорости за единицу времени (т. е. ускорение $a$) пригоропционально силе ($F$) и обратно пропорционально массе ($m$) тела: $a = F/m$. Из закона, открыто Ньютоном, видно, что чем больше масса тела, тем heavier оно меняет свою скорость. В этом смысле говорят, что масса тела — это мера его инертности.

Генциальность Ньютона состоит в частности, в том, что, рассматривая какое-то конкретное физическое явление (например, движение тела под действием силы), он всегда имел в виду весь мир в целом.ECTественно поэтому, что Ньютон пытается применить формулированные им законы диамники к описанию движения планет. Вывод направляется сам собой: никакой силы, подгоняющей планеты в их движении по орбите, не нужно. Наоборот, нужно сила, не позволяющая планетам улететь по прямой линия (в соответствии с законом инерции) и заворочивающая их каждый раз на круговые или близкие к круговым орбиты. Другими словами, на планеты должны действовать сила, направленная не вдоль, а поперек движения. А раз так, то не остается ничего другого, как предположить, что источником этой силы является Солнце.

Дальше все было просто. Ускорение планеты при ее движении по круговой орбите равно $a = \omega^2 R = 4\pi^2 R/T^2$ (обычно центростремительное ускорение). Подставляя это выражение в свой собственный закон ($a = F/m$), Ньютон получает

$$\frac{4\pi^2}{T^2} R = \frac{F}{m}.$$

Здесь $F$ — та самая сила, которая действует на планету со стороны Солнца, а $m$ — масса планеты. Используя третий закон Кеплера, Ньютон приходит к выводу, что величана $F/m \sim 1/R^2$ и не зависит от характеристик планеты, т. е. сила, действующая на планету со стороны Солнца,

$$F = \text{const} \cdot \frac{m}{R^2}.$$

Размышляя о том, от чего бы могла зависти величина входящей в это выражение constants, Ньютон поступает, что она определяется только массой Солнца ($M$). (Почем? Да просто так ему казалось естественным.) Вот так и возникло знаменитое и одновременное столпивчное сегодня выражение

$$F = G \frac{Mm}{R^2}.$$

Величина коэффициента $G$ ни от чего не зависит и является мировой константой (она получила название гранитционной постоянной).

Дальнейший анализ движения планеты показал, что при такой силе автоматически выполняются и первые два закона Кеплера. Это уже был большой успех. Воодушленный им, Ньютон пытается описать движение Луны во круглг Земли и, хотя и с некоторыми приключениями, получает превосходное соглашение своих расчетов с экспериментом.

И тут Ньютон решается на противодействие своей силе обобщение. Он утверждает, что открыта им сила никаким образом не связана со спецификой небесных тел, а является универсальным свойством любых объектов природы. Так был формулирован закон всемирного тяготения: сила, действующая между двумя любыми телами с массами $m_1$ и $m_2$,

$$F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}.$$

Вопрос о том, почему те самые массы, которые характеризуют стремление тел сохранять свое движение (т. е. являются мерой их инертности), одновременно определяют и взаимное прияжение тел друг к другу, волновал много поколеней ученых и являлся последствием отправной точкой для построения Эйнштейном общей теории относительнойности.

Коль скоро закон всемирного тяготения применим к любым телам, появились возможность экспериментального измерения величины gravitationной постоянной $G$. Она оказалась невероятной малой:

$$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \cdot \text{m}^2/\text{kr}^2.$$

Это означает, что gravitationные силы очень слабые. Именно поэтому мы совершенно не заменаем gravitationного прияжения между окружностями нас телами. Эта сила становится заметной только тогда, когда хотя одно из тел очень большое (такое, как Земля, Солнце и т. п.).