Квант
Смесь

[Головоломка «Чёртова бочка»]

Квант 1987, №11с. 68Тег Y1JI

«Чертову бочку» изобрел Гумней Иокои — менеджер японской фирмы, производящий цральные автоматы. Ее общий вид показан справа, слева — схематическая развертка. Эта золотомка внешнее наполняет хорошего изввесные «варикон» и «вавилонскую башню» (см. «Квант» № 6), но перемещение шариков осуществляется здесь иначе. Разрешается: 1) с помощью двух барабанов поворачивать сразу по два «слоя» шариков; поворот нижнего барабана на 1/5 полного оборота по стрелке на схеме обозначим н, верхнего — в; 2) свищать сразу три длиных вертикальных ряда шариков (по 5 штук) на один шарик — вниз, если три «лишних» шарика вверху, и вверх, если цикл (из 7 и из 5 элементов), т. е. перемещает одновременно 12 шариков. Это много. Но из них составляются более простые перестановки. ВАВ−1^{-1} Например, коммутатор K=A−1^{-1} передвizaет только 7 шариков: он порождает 3-цикл 5 → 4 → 7 → 5 и пару обменов 1 ↔ 2, 3 ↔ 6 (цифры — это номера шариков на схеме). Тенерь самоое время позnakомится еще с одним полезным приемом конструктивной хороших операций — повторением. Если выполнить K двамжды, то, очевидно, обмены 1 ↔ 2 и 3 ↔ 6 исчезнут, а остатся только 3-цикл 4 → 5 → 7 → 4. А при тройном повторении, наоборот, исчезнет 3-цикл, пару обменов же остатся. Аналогично мы можли бы изввваться от одного из двух циклов в операции A или B: проверьте, что A5^5 — это 7-цикл, а A7^7 — 5-цикл и посмотрите, как действуют коммутаторы A5^5B5^5A−5^{-5}B−5^{-5}, A7^7B7^7A−7^{-7}B−7^{-7}.

Внимательный читатель может заметить, что операции A и B по существу совпадают с одноменными операциями из произлого номера «Кванта», которые используются для плоской золотомки, аналогичной «чертовой бочке» (сравните их схемы!). Но «бочка» все-tаки предмет круглы и образовать циклы в ней можно просто кругнуть барабан. Это не сликом хитрумого сообщение «работает» в следующих двух операциях:

↓H↑B↓H−1↑B−1(1↔2,5↔7,3↔6↔4↔3;cp. c К)↓B2↑H2↓B−2↑H−2\begin{align*} \downarrow H \uparrow B \downarrow H^{-1} \uparrow B^{-1} \\ (1 \leftrightarrow 2, 5 \leftrightarrow 7, 3 \leftrightarrow 6 \leftrightarrow 4 \leftrightarrow 3; \text{cp. } c \text{ К}) \\ \downarrow B^2 \uparrow H^2 \downarrow B^{-2} \uparrow H^{-2} \end{align*}

Как видим, экономия в числе ходов немалая!