3
О МАТЕМАТИКЕ
СТРАНЫ СОВЕТОВ
Академик АН УССР В. В. ГНЕДЕНКО
Великая Октябрьская социальстическая revolución явилась мощным толком к прогрессу математики в нашей стране, создала исключительное благоприятные условия для развития абстрактных ее направлений и применения математических методов в естественных и инженерном деле, организации производства.
Так, в 1918 г. был издан декрет об организации ЦАГИ — Центрального аэродинамического института и о назначении Н. Е. Жуковского его директором. В том же году была создана Нижегородская радиолаборатория.
В 1921 году — разгар разухи — по инциативе В. А. Стеклова был организован Физико-mатематический институт Академии наук. Впервые в истории нашей страны развитем теоретической и прикладной математики стало заниматься специальное научное учреждение.
Далее краткое описание того, что сделали советские математики за истекшие семьдесят лет, потребовали бы многоотномного сочинения и работы большой группы специалистов. Поэтому здесь мы вынуждены ограничиться лишь беглым обзором небольшой доли важных направлений научных исследований.
Пожалуйста, самым крупным явлением в математической жизни нашей страны следует считать возникновение Московской математической шкалы теории функций и теории множества. У ее истоков стояли два выдающихся математика и педагога — Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин. С их именами связано широкое привлечение студенческого молодежи к научным исследованиям. Многочисленные результаты, красивые построения, постановка большого числа новых задач для дальнейших исследований, живое изложение — все это суммло увлечь математической молодежи Лузина. Его perвыые ученики — Д. Е. Меньшов, П. С. Александров и А. Я. Хинчин. Первые их самостоятельные работы были в кругу идей учитель — теория интеграла, сходимость трионометрических рядов, строение так называемых борелевских множества. Эти perвыые работы в значительной степени определяли дальнейшие интересы названных исследований. Д. Е. Меньшов основные свои работы по связыванию трионометрических рядов и рядов ortogonalных функций; А. Я. Хинчин — метрический теории функций и ее применением в теории чисел, теории вероятностей и статистической физике; П. С. Александров — теории множества, а позднее — топология.
Уже perвыые приемы студентов в Московский университет после 1917 года вдали второе поколение активных учеников Лузина, Лузин организовал семинар, на котором каждому участнику предложалось прореферировать определению monогrafico, затем установить обсуждение реферата с постановкой вопросов, с вывлечением возможности прошения и обобщения доказательств.
В двадцатье годы ученики Лузина назвала свой коллектив «Лузитаней»*). Этот подчеркивалось восхождение своим учительем, его научными идеями, лекциями. Ученики Лузина гордились своей причастностью к группе, разрабатывающей его идеи, и стремились дать максимум того, на что они способны в научке.
Конечно, каждое чрезмерное увлечение несет в себе и отрицательное начало. Лузитанцы были чрезмерно заняты лишь одним направлением математического развития и неокоторые из них несколько свысока относились к классическим области
*) См. «Квант», 1977, № 10, c. 13.
4
математики. Это нашло отражение в шуточных названиях ряда дисциплины: теория вероятностей называясь у них теории непряятности, уравнения в частных произвольных — уравнениями с несчастными произвольными, конечные разности — разными конечностями и т. п. Оdnako эта недоценка других областей математики продолжалась недолго, поскольку внутри самой Лузитанина начался процесс расширения интересов. П. С. Александров и П. С. Урьсон увлеклись проблемами теорейкоможественной топологии и вскоре положили начало существования Московской топологической школи. А. Я. Хинчин в двадцать годы начал интересовать проблемы метрической теории чисел, от нее подошел к вопросам теории вероятностей и к концу двадцатьх годов целиком направил свою энергию на эти два направления исследований. Теория вероятностей вскоре стала одной из существенных частей интересов Московской математической школи. Создание Московской школи теории вероятностей является заслугой двух выдающихся ученых — А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогорова.
Далее интересы Москвыских математков обращались к классическому анализу. При этом выяснили, что идеи теории функций дают возможность серbezного продвижения. Качественная теория дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения в частных произвольных становятся объектом исследований Москвыей. Среди представителей этого направления следует назвать В. В. Степанова и И. Г. Петровского.
Не следует думать, что только Москва была центром математической мысли того времени. Первоклассные исследования в это время проводились на Україне — в Києве и Харькове. В Києве следует отмечить, в первую очередь, исследования по астрактной алгебре, культивируемые Д. А. Граве и его учениками. В начале революции один из его учеников О. Ю. Шmidt — разносторонний ученый и превосходный lekтор — начал пропаганду новых алгебраических идеи в Москве. О. Ю. Шmidt явился создателем Московской алгебраической школи. В Харькове С. Н. Бернштейн развивал идеи П. Л. Чебышева в области налучшого приближения функций полиномами и успешно работал в области теории вероятностей.
В Ленинграде успешно развивались исследования в области математической физики и теории чисел. Оба эти направления исследований были традиционными для ленинградцев и берут свое начало от Л. Эйлера, М. В. Острогадского и П. Л. Чебышева. По аналитической теории чисел замечатые результаты были получены И. М. Виноградовым. В 1934 г. И. М. Виноградову удалось получить полностю решить знаменитую задачу Гольдбаха: всякое нечетное натуральное число представимо в виде суммы не более трех простых чисел.
Новые университеты, образованные в ряде городов страны в первые годы революции, быстро превращались в значительные математические центры. В первую очередь мы должны назвать здесь Тбилиси и Ташкент, которые славили свои исследования-
5
ниями по математической физике (Тбилиси), нелинейным дифференциальным уравнением и математической статистике (Ташкент). Организаторами Грузинской математической школы были Н. И. Мускелшвили, Г. Н. Николадзе, А. М. Размадзе и А. К. Харадзе*). Создателем Ташкентской математической школы был В. И. Романовский.
К началу Великий Отечественный войны советская математика завоевала огромный научный авторитет во всем мире. Своими исследованиями она охватила практические все направления математической мысли. Многие математики принимали участие в решении задач естественногоания, технически и организации производства.
Особенно значительные были результаты математков в связи с проблемами, вывггаемыхimi развитием авиации. Именно задачи полета в скрижаемой жидкости было вызван построение теории квазиконформных отображений М. А. Лаврентьевым. Крупный успех накануне Великий Отечественный войны был достигнут в построении математической теории «шимми» и «штопора», явившихся причины гибели многохимических самолетов. Из математической теории, построенной М. В. Келдышем, удалось сделать практические выводы, которые позволили радикально бороться как с «шимми», так и со «штопором». Позднее М. В. Келдыш занимался ракетной техники, стал Главным теоретиком советской космонавтики.
Великая Отечественная война не прошла mismo советских математков: тысячи из них пошли на фронт,
*) См. «Квант», 1975, № 9, c. 12.
И. М. Винооградов.
А. Н. Колмогоров.
М. В. Келдыш.
6
Огромной важности математической задачи возникли и в связи с обеспечением высокого качества массовой промышленной продукции. Индивидуальная проверка качества каждого изготовленного изделия требовала огромного числа контроля. На это идти было нельзя, поскольку и без того был катастрофический недостаток рабочей силы. Именно в это время возникла идея построения теории статистического контроля качества продукции. В ее создании активное участие принял А. Н. Колмогоров. В настоящее время эта теория энергичного развития по двум пути: 1) проверка качества уже изготовленных партий (приемочный контроль) и 2) управление качеством изделия в процессе изготовления (техущий или оперативный контроль).
Послевоенные годы характерны стремительным процессом математизации знаний и практической деятельности. Математика потребовала для решения задач организации производства и для исследования биологических процессов, для проведения в области физики и при создании технических систем, для изучения экономических вопросов и при рациональном размешении производственных предприятий. Но этого мало. Оказалось, что математические методы оказавают помощь археологии и историику, лингвистиу и медику. Появились новые направления математической мысли. Математическая логика прибрела несравненно большее значение, чем до войны. В этом большую роль сыграли электронные вычислительные машины и вызванная имми потребность в тщательном логическом анализе процессов при про-
gramмировании для ЭВМ, а также при составлении математических модели является. В теории вероятностей появились новые ветви, тесно связанные с экономикой и организацией производства, а также с задачами физики.
Если прежде физика свободно обходилась привчным для математики общим понятием функций, то теоретическим построением современной физики в этих рамках стало теCHO. В конце сороковых годов физики все чаще и чаще стали допускать операции с объектами, которые не укладывались в классическое понятие функции. В самом начале пятдесятых годов появились работы С. Л. Соболева и французского математика Л. Шварца, в которых было положено начало широкому и продуктивному обобщению понятия функции — было введено понятие обобщенной функции и разработаны правила действия с этим функциями. Несколько позднее И. М. Гельфанд в результате обобщения случайные процессы, использовав для этой цели идеи обобщенных функций. Упомянем большее направление исследований, связанное с отысканием экстремальных решений. Важность этогоода исследований вывелись в полной мере только в последнее время: при нынешних масштабах народного хозяйства неудачное использование материалов ресурсов приводит к огромному перерасходу, неудачный выбор направления движения заменяет доставку пассажиров и грузов; неудачное распределение работы с оборудованием bleibt неполное использование станков и аппаратуры. Первыя задачи
7
такого рода появились двано и были известны еще в Дневней Греции.
Непосредственно перед Великой Отечественной войной Л. В. Канторович рассмотрел ряд новых задач на разискание максимального и минимального значений, связанных с распределением работ, раскроем материалов, организацией перевозок и т. п. Эти задачи послужили началом создания новой математической теории — линейного программирования, получившей после войны быстро развuite. Теперь эти первые постановки задач получили общее формулировки, для них предложены методы решения, построена интерсная теория, эти результаты распространялись на более общие случаи (нелинейное программирование).
Большое направление исследований, вызванное необходимостью получения автоматом управление технологическими процессами, движением самолетов, космических аппаратов и т. д., было разработано Л. С. Понтгриным и его учениками. Это направление получило наименование теории оптимального управления. Теория и вывинуть в ней принципы немедленного получения многочисленных практических применений.
К новым задачам в теории случайных процессов приведены такие задачи практики, как управление качеством продукции и определение момента наладки оборудования. На эти задачи обратил внимание А. Н. Колмогоров, направивший на них внимание ряда своих учеников.
Один из крупнейших математических современности Н. Н. Боголюков, начав работать под руководством академика Н. М. Крылова, свой первый результат опубликовал в семнадцатилетнем возрасте. Его научные интересы быстро расширились, охватив математический анализ, дифференциалыные уравнения, выражения, выраженное исчисление, теории функций, математическая физика, теория вероятности. Совместно с Н. М. Крыловым им были разработаны математические методы нелинейной механики. Послед Великой Отечественной войны Н. Н. Боголюбов перешел почти исключительно на решение задач современной физики и в этой области добавился крупных успехов.
Нельзя не упомянут о математике исключительно широкого профиля, результаты которого относятся к топологии, теории дифференциальных уравнений, математической физике, геофизике, вычислительной математике, электродинамике — А. Н. Тихонове. В первую половину нашей степени под влиянием взглядов замещального французского математика Адамара сложилось убеждание, что для физики и практики интересы только так называемые корректные задачи, решения которых, полученные при близких начальных данных, не могут расходиться между собой слишком сcilно. Постоянный интерес к задачам практики убедил А. Н. Тихонова в ошибочности этой точки зрения. Оказалось, что много естественных задач физики, экономики и других областей знания по существу являются неорректно поставлеными. Тихоновым был разработан подход к решению такого типа задач.
Конец пятидесных годов и шестидесятые годы явились периодом ин-
8
ТЕНСИФИКАЦИИ MATEMATIЧЕСКОЙ ЖИЗНИ В СССР. В это время ещё активно и плодотворно работают математики старшего поколения, о которых сказано выше, но теперь к ним присоединяется целая пледа их одаренных учеников.
Эта связь поколеный наиболее проявлась, пожалуй, при исследовании знаменитой XIII проблемы Гильберта о представлении функций многих переменных через функции одной переменной, полное решение которого было получено совместными усилиями А. Н. Колмогорова и его ученика, тогда еще спирата, В. И. Арнольда.
Из математиков молодого поколения наиболее признание получили москови С. П. Новиков, В. П. Маслов и ленинградец Л. Д. Фаддеев. Серрей Петрович Новиков, проссходящий из семьи профессIONALных математиков (его отец — академик П. С. Новиков, логик и алгебраист, мать — Л. В. Келдыш, доктор физико-mатематических наук, тополог), очень рано получил ряд выдающихся результатов по одной из наиболее важных в то время дисциплины — дифференциальной топологии. Эти результаты были высоко оценены не только у нас в стране, но и зарубежом: С. П. Новиков стал первым советским лауреатом премии Филдса, наиболее представной математической премии.
В. П. Маслов начал как физик, но его первые значительные результаты связаны с развитием идеи современного математического анализа. Для его работы характерна, с одной стороны, глубина чисто математических обобщений, и, с другой — вынимание к прикладным вопросам, в частности, к математической физике.
Л. Д. Фаддеев, тоже начавший как физик и тоже проссходящий из математической семьи (его отец — Д. К. Фаддеев — алгебраист, членкорреспондент АН СССР), известен своим функментальным работами по математической физике. Международный авторитет его работ значительной в настоящее время Л. Д. Фаддеев — президент Международного союза математических современных теореми, но и в изучении явлений окружающего нас мира. Как правило, случается так, что явления природа и процессы экономики шреже и имеются средств математики. Это является вечным стимулом для развития самой математики, ее понятий и теории.