Những con số tuyệt vời. dãy số Fibonacci

32

Những con số tuyệt vời.
dãy số Fibonacci

Số Fibonacci là các phần tử của dãy số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, trong đó mỗi số bắt đầu từ số thứ ba là tổng của hai số trước đó: $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

Những con số này được nhà toán học Taliban Leonardo xứ Pisa (Fibonacci) giới thiệu trong “Sách bàn tính” (1202). Anh ta lấy chúng theo số lượng họ máy cắt giảm dần từ một cặp, với điều kiện là mỗi cặp máy cắt sẽ tạo ra một cặp mới mỗi tháng.

Hóa ra số Fibonacci xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Ví dụ: nếu bạn đi dọc theo một con đường được chia thành $n$ hình vuông, mỗi lần di chuyển đến hình vuông tiếp theo hoặc qua một hình vuông, thì số cách để đi qua con đường đó là $f_n$.

Các số Fibonacci xuất hiện theo hình xoắn ốc và số lượng các đường xoắn ốc đi theo hướng này và hướng kia là khác nhau - chúng là các số Fibonacci liên tiếp (ví dụ: có thể có 34 và 55 đường xoắn ốc). Điều tương tự cũng được quan sát thấy ở quả dứa, thường có 8 và 14 vòng xoắn.

AE: $AB = AB:BC = AD:AC = \tau$

Các số Fibonacci xuất hiện theo hình xoắn ốc và số lượng các đường xoắn ốc đi theo hướng này và hướng kia là khác nhau - chúng là các số Fibonacci liên tiếp (ví dụ: có thể có 34 và 55 đường xoắn ốc). Điều tương tự cũng được quan sát thấy ở quả dứa, thường có 8 và 14 vòng xoắn.

33

8×8

Yêu thích các tỷ lệ:

$$f_1 + f_2 + \dots + f_n = f_{n+2} - 1;$$
$$f_1 + f_2 + \dots + f_n^2 = f_n f_{n+1};$$
$$f_1 - f_2 + \dots + (-1)^{n+1} f_n^2 = 1 + (-1)^n f_{n+1} = f_n + 2 f_{n-1} - f_n f_{n-1} = (-1)^n;$$
$$f_n + m = f_{n-1} f_m + f_n f_{m+1};$$

$$f_1 x + f_2 x^2 + \dots + f_n x^n + \dots = \frac{x}{1-x-x^2},$$
$$\frac{f_1}{2} + \frac{f_2}{4} + \dots + \frac{f_n}{2^n} = 2;$$

$$1 = 1, 1 + \frac{1}{1} = \frac{2}{1}, 1 + \frac{1}{1+1} = \frac{3}{2},$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \frac{5}{3}, \dots,$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \tau.$$

Người ta đã phát hiện ra rằng các phân số có dạng $a/b$, tương ứng với sự sắp xếp xoắn ốc của các tấm trên thân khoảng cách, thường là tỷ lệ của các số Fibonacci liên tiếp. Đối với gỗ sồi và cây phỉ, tỷ lệ này là 2/3, đối với gỗ sồi và quả mơ là 3/5, đối với cây dương và quả lê là 5/8, đối với hạnh nhân và hạnh nhân là 8/13, v.v.