Замечательные числа. Числа Фибоначчи

32

Замечательные числа .
Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, в котором каждое число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$

Эти числа введены и talibянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в «Книге абака» (1202). Он получил их как численность семейства кроилков, произходящих от одной пары, при условии, что каждая пара кроилков ежемесячно производит новую пару.

Оказаюсь, что числа Фибоначчи возникают в самых различных области жизни. Например, если идти по дорогке, разделенной на $n$ квадратов, каждый раз страна на следующий квадрат или через один, то количество способов пройти такую дорогку равно $f_n$.

Числа Фибоначчи оказываются в спирали, причем количество спиралей, идущих в одну и другую сторону, различны — они являются последовательными числами Фибоначчи (например, спиралей может быть 34 и 55). То же наблюдается и на плодах ананаса, где спиралей обобщно бывают 8 и 14.

AE: $AB = AB:BC = AD:AC = \tau$

Числа Фибоначчи оказываются в спирали, причем количество спиралей, идущих в одну и другую сторону, различны — они являются последовательными числами Фибоначчи (например, спиралей может быть 34 и 55). То же наблюдается и на плодах ананаса, где спиралей обобщно бывают 8 и 14.

33

8×8

Любитььте соотношения:

$$f_1 + f_2 + \dots + f_n = f_{n+2} - 1;$$
$$f_1 + f_2 + \dots + f_n^2 = f_n f_{n+1};$$
$$f_1 - f_2 + \dots + (-1)^{n+1} f_n^2 = 1 + (-1)^n f_{n+1} = f_n + 2 f_{n-1} - f_n f_{n-1} = (-1)^n;$$
$$f_n + m = f_{n-1} f_m + f_n f_{m+1};$$

$$f_1 x + f_2 x^2 + \dots + f_n x^n + \dots = \frac{x}{1-x-x^2},$$
$$\frac{f_1}{2} + \frac{f_2}{4} + \dots + \frac{f_n}{2^n} = 2;$$

$$1 = 1, 1 + \frac{1}{1} = \frac{2}{1}, 1 + \frac{1}{1+1} = \frac{3}{2},$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \frac{5}{3}, \dots,$$
$$1 + \frac{1}{1+1} = \tau.$$

Обнаружено, что дроби вида $a/b$, соответствующие винтообразному расположению листов на стебельке расстояния, часто является отношением последовательных чисел Фибоначчи. Для бука и орешника это отношение равно 2/3, длядуба и абрикоса — 3/5, для тополя и груши — 5/8, для婴 и миндала — 8/13, и т. д.