Основной принцип дифференциального исчисления

46

Основной принцип дифференциального исчисления

Часть I:
Линейная функция

Член-корреспондент АН СССР
Д. К. ФАДДЕЕВ,
кандидат физико-математических наук
М. С. НИКУЛИН,
И. Ф. СОКОЛОВСКИЙ

В этой статье автором хотелось подтвердить мысль о том, что математика в своей элементарной части является самой простой из наук, так как она изучает наиболее грубые стороны действительности. Это в полной мере относится к элементам математического анализа, основные идеи которого очень просты и наглядны, если их показывать на том интуитивном уровне, на котором они фактически возникли. К сожалению, очень不多

многих результатов математического анализа, их ясный геометрический и физический смысл зачастую уже при первом знакомстве приносятся в жертву проблем обоснования и так называемой математической строости.

По существу, основной идеей «высшей математики» является следующое процесс сообщения, которое мы называем основным принципом дифференциального исчисления:

На небольшим участке любой достаточно «хорошей» кривой она успешает мало изогнутся и тем меньше, чем меньше рассматриваемый участок. Поэтому малый кусочек кривой линейности совпадает с отрезком некоторых прямой, и их близость становится все более совершенной по мере стягивания участка кривой к некоторой точке. Примая, которая плотнее, чем другая прямая, прижимается к кривой близи данной точки, называется касательной к кривой в данной точке. В частиности, график достаточно «хорошей» функции на

47

малом участке почти прямолинеен, и малое изменение функций почти равно малому изменениюnekоторий линейной функции. Иными словами, «хорошая» функция почти линейна локально, т. е. в бесконечную уменьшенной окрестности любого значения аргумента. Угловой коэффициент касательной к графику функций называется значением произвольной от функций в рассматриваемой точке.

«Основной принцип» не является теоремой и не содержит в себе четких определений. Достаточно «хорошая» кривая и «хорошая» функция — понятия, которые можно определить точнее лишь после уччения и формиализации понятия произвольной. Однако рациональные, степенные, показательные и логарифмические, а также тригонометрические функции — все являются «хорошими». Более того, функция, возникающая при исследовании процессов естественного и технически, обычно оказывается «хорошими». В качестве «плюхой» можно назвать функцию $|x|$ в окрестности нуля.

В этой статье мы, оставив в стороне проблемы обоснования, получим основные результаты школьного курса математического анализа, исходя из «основного принципа» дифференциального исчисления. Но прежде чем перейти к решению этой задачи, который посвящена вторая часть этой статьи, мы обстоятлено рассмотрим линейную функцию. Это необходимо сделать по двум принципам. Первая состоит в том, что линейная функция в школьном курсе изучается очень рано и, как следствие этого, несколько упрощенно и оторванно от важнейших ее применений. Вторая причина — принципальная, она связана с особой ролью, которую играет понятие линейной функции в основных концепциях математического анализа.

Определение линейной функции

Линейной функцией называется функция вида $y=kx+b$, где $k$ и $b$ — постоянные. При $k=0$ функция принимает постоянное значение $y=b$. При $b=0$ функция $y=kx$ называется прямой пропорциональной, а параметр $k$ называется коэффициентом пропорциональной.

Характеристиское свойство линейной функции

Это свойство состоит в следующем: приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента.

Действительно, пусту $y=kx+b$ — данная функция и пусту аргумент изменяется от $x_1$ до $x_2$. Выразим приращение функции $\Delta y=y(x_2)-y(x_1)$ через приращение аргумента $\Delta x=x_2-x_1$:

$$y(x_2)-y(x_1)=kx_2+b-(kx_1+b)=k(x_2-x_1).$$

Таким образом, $\Delta y=k\cdot \Delta x$, т. е. действительно приращение $\Delta y$ функция $y=kx+b$ пропорционально приращению $\Delta x$ аргумента с коэффициентом пропорциональной, равным $k$.

Справедливо обратное утверждение, а именно: если приращение функции $f(x)$ пропорционально приращению аргумента, то $f(x)$ — линейная функция.

Действительно, выберем (зафиксируем) некоторое значение $x_0$. Тогда для любого $x$ в силу условия выполняется равенство

$$f(x)-f(x_0)=k(x-x_0),$$

откуда

$$f(x)=kx-kx_0+f(x_0),$$

т. е. функция имеет вид:

$$f(x)=kx+b,$$ где $b=f(x_0)-kx_0$, значит, $f(x)$ — линейная функция.

Итак, мы приходим к выводу, что отмещенным свойством обладает линейная и только линейная функция, поэтому и называют его характеристическим свойством линейной функции.

Monotонность линейной функции

При $k>0$ функция $y=kx+b$ — возможность, при $k<0$ — убывающая.

Доказем это при $k>0$; пусту $x_2>x_1$, тогда $y(x_2)-y(x_1)=kx_2+b-(kx_1+b)=k(x_2-x_1)>0$, т. е. $y(x_2)>y(x_1)$, что и требовалось доказать.

Композиция линейных функций

Сложная функция, являющаяся композицией линейных функций, тоже

48

Линейная функция с коэффициентом пропорциональности, равным произведению коэффициентов пропорциональности составляющих ее функций.

Действительно, пусть
$$F(x) = f(g(x)) \text{ и } f(x) = k_1 x + b_1, \quad g(x) = k_2 x + b_2.$$
Тогда
$$F(x) = k_1 (k_2 x + b_2) + b_1 = k_1 k_2 x + k_1 b_2 + b_1 = kx + b,$$
где $k = k_1 k_2, b = k_1 b_2 + b_1$.

Очевидно, что утверждение справедливо для сложной функции, составленной из любого числа линейных функций.

График линейной функции

Теорема. График линейной функции $y = kx + b$ — прямая.

Читатель без труда докажет эту теорему, пользоваться подобным прямогольным треугольником. Однако нетрудно построить и доказательство, не используя теории подбия, опираясь на монотносты линейной функции.

Пусть $y = kx + b$, и мы рассматрием точки на графике с абсциссами $0, x_1, 2x_1, 3x_1, \dots$. Покажем, что эти точки лежат на одной прямой. Идея доказательства ясна из рисунка 1. Все розовые треугольники равны, и сумма углов при любой из точек рассматриемого ряда равна $180^\circ$, так как сумма острых углов прямогольного треугольника равна $90^\circ$, и третий угол при каждой из точек прямой. Следовательно, гипotenузы треугольников продолжают друг друг и составляют прямую. По то же причине точки графика с абсциссами $0, x_1/n, 2x_1/n, \dots, nx_1/n$, лежат на прямой, и она совпадает с предыдущей, либо содержит точку с абсциссой $x_1 = nx_1/n$. Натуральное число $n$ можно взять сколь годно большем, так что найdenная прямая $L$ содержит точки графика со сколь годно густо расположенными абсциссами.

Покажем, что все точки графика лежат на той же прямой $L$. Допустим, что точка $(x_0, y_0)$ графика лежит выше прямой $L$. (Если точка расположена ниже, рассудение аналогично.) Тогда, как и предшеде, мы убедимся в том, что на прямой $L'$, соединяющей точку $(0, b)$ с точкой $(x_0, y_0)$, точки графика с абсциссами $0, x_0/m, 2x_0/m$, … расположены сколь годно густо. Таким образом, в этом предположении точки графика функции $y = kx + b$ «прягали» бы сколь годно часть с прямой $L$ на прямую $L'$, что невозможно в силу монотности линейной функции. Итак, любая точка графика лежит на построенной ранее прямой.

Обратно, любая точка $(x_2, y_2)$ этой прямой принадлежит графику $y = kx + b$. Действительно, точки $(x_2, kx_2 + b)$ есть точка графика и, в силу доказаного, принадлежит прямой, а так как на прямой, не параллельной оси ordinат, есть только одна точка с абсциссой $x_2$, то $y_2 = kx_2 + b$.

Из доказанной выше теоремы следует, что график прямой пропорциональности ($b=0$) — прямая, проходящая через начало координат.

При решении задач часто приходится прибегать к утверждению, обратному теореме о графике линейной функции: любая прямая, не параллельная оси ordinат, есть график некоторых линейной функции.

Докажем его.

Пусть данная прямая проходит через точки $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$, где $x_0 \neq x_1$ (рис. 2). Всегда можно подобрать уравнение вида $y = kx + b$, для которого пары чисел $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$ будут решены:

$$\begin{cases} y_0 = kx_0 + b, \\ y_1 = kx_1 + b. \end{cases}$$

Для этого достаточно положить
$$k = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1}, \quad b = y_0 - \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x_0.$$
Прямая — график линейной функции
$$y = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x + y_0 - \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} x_0 -$$
проходит через точки $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$; это — единственная прямая, проходящая через эти две точки, значит, она совпадает с данной прямой, что и доказывает наше утверждение.

Применение характеристического свойства линейной функции

Пример 1. Написать уравнение прямой $a)$ с угловым коэффициентом $k = 3$, проходящей через точку $(-7, 2)$, $b)$ проходящей через точку $(-8, -10)$ и $(2, 4)$.

49

Решение. а) Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка искомой прямой; тогда $\Delta y = y - 2$ и соответствующей приращение аргумента равно $\Delta x = x + 7$. Уравнение прямой имеет вид: $y - 2 = 3(x + 7)$.

6. Вычислим угловой коэффициент $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 + 10}{2 + 8} = 1,4$.

Мы пришли к предыдущей задаче, но имеем одну «лишнюю» точку. Выбираем любую из двух и составляем уравнение прямой, например, $y - 4 = 1,4(x - 2)$; можно было написать и $y + 10 = 1,4(x + 8)$.

Пример 2. Изучается зависимость, описываемая линейной функцией $y = kx + b$; значения величины $x$ получаются в результате изменения. С какой точностью необходимо выполнять изменения величины $x$, чтобы вычислить значения величины $y$ с точностью до $\varepsilon$?

Решение. Ошибку в измерении величины $x$ можно считать приращением аргумента $x$, т. е. принять за $\Delta x$. Тогда в силу характеристического свойства линейной функции ошибка в определении величины $y$ будет равна $\Delta y = k \cdot \Delta x$. Требуется $|\Delta y| \leq \varepsilon$, откуда $|\Delta x| \leq \varepsilon/|k|$.

Это элементарный результат, но он находится применение в весма общих и совсем не элементарных ситуациях.

Геометрический и физический смысл параметров $k$ и $b$ в уравнения прямой $y = kx + b$

Геометрический смысл параметра $k$ состоит в том, что $k$ равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс (с учетом направления отчета угла). Модуль $k$ готовит о том, насолько кругто (близко к вертикали) проходит прямая, поэтому $k$ называют уравним коэффициентом прямой. Закккать $k$ показывает, в каком направлении идет прямая (возрастает или убывает линейная функция).

Остановимся более подробно на физическом смысле параметров $k$ и $b$. Возьмем графики двух линейных функций (рис. 3 a, б) и будем присвяивать переменным (по осам координат) различных наименования так, чтобы каждый раз данной прямая описывала бы некий возможный процесс.

1. Пусть графики изображают процесс изменения температуры неокторого физического тела. По оси ординат откладывается температура $(y = T)$ в градусах Цельсия, по оси абсцисс времени $(x = t)$ в секундах. Тогда

$$k = \frac{\Delta T}{\Delta t} \frac{\text{град}}{c}$$

— скорость изменения температуры. В случае a) $|k|$ — скорость нагрева, в случае b) $|k|$ — скорость охлаждения, $b = T(0)$ — начальная температура.

2. Пусть $y = m$ — масса горючего в граммах, $x = t$ — время в секундах. Тогда

$$k = \frac{\Delta m}{\Delta t} \frac{\text{г}}{c}$$

— скорость изменения работы — мощность, $b = A(0)$ — работа, совершенная к началу отчета.