ДВЕ ИГРЫ
В прошлий раз мы упомянули о шахматах Доусона, в которые играют на доске 3×8 одними пешками. Пешки ходят и быют по объичным правилам, причем взятые обязательно. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход, — все его оставшиеся пешки запатованы.
Пусть первый ход белых 1. a2, тогда черные вынуждены ответить 1…ba, и белые тоже 2. ba. Тепервертикали «a» и «b» «выши из игры», а ход черных. Если они играют 2…f2, то белые должны ходить 3. ef или 3. gf. После разменов от трех заполенных вертикалей «e», «f» и «g» остается лишь одна «f» с застопорившимся на ней пешками, а очередь хода снова за белыми. Итак, любой ход приводит к уменьшению числа вертикалей, на которых еще можно ходить, на 3, 2 или 1 (если соседние вертикали пусты) и передаче хода партиру. Поэтому игру можно переформулировать так: белые и черные по очереди ставят пешки на 2-ю горизонталь на поля, не граница с уже занятыми; кто не может сделать ход — проигрывает. Дальше мы будем рассматривать игру в этой формемировке.
Надо сказать, что анализ игры на доске 3×n при произвольных значениях n представляет собой весма сложную математическую проблему. Рассмотрим n от 1 до 8. При n=1 и n=2 победа за белыми (1. a2). Выигравают они и при n=3 (1. b2, но не 1. a2? c2). При n=4 верх берут черные (1. a2 c2; 1. b2 d2). Легко проверить, что при следующих трех значениях n (n=5, 6, 7) снова победа, а при n=8 уже им не избежать поражения. Ввиду симметрии достаточно расстоять четыре «дебюта»: 1. a2 e2 2. g2 c2; 1. b2 f2! 2. d2 h2; 1. c2 e2 2. g2 a2; 1. d2 f2 2. a2 h2.
В принципиме можно вывести рекуррентные соотношения для определения результаты при различных значениях n, но простой формулы или правила, позволяющего вывить победителя при данном n, не существует. Еще сложнее анализ «мизерной» формулы шахмат Доусона (именно ее первоначально предложил автор игры): проигрывает тот, кто делает последний ход.
Рассмотрим еще одну интересную шахматно-mатематическую игру, связанную со значением «задачей о восьми ферзях». Два игре по очереди ставят ферзей на вертикали «a», «b», и т. д. Никакие два из них не должны быть друг друга (цвет ферзей не имеет значения). Проигрывает игрок, который не может сделать очередного хода.
В этой партии сделано 5 ходов — выиграл начинающий (все поля вертикали «f» контролируется уже выставленными ферзями).
Читательм предлагается рассмотреть «игру ферзей» на доске n×n. Можно высказать гипотезу, что в первом варианте игры на нечетных досках победают белые, а на четных — черные. Во втором варианте партия вновь заканчивается вничью (нулевой выигрыш). При этом, если кто-то из игроков отклонится от расстановки n не угрожающих друг друге ферзей на доске n×n, то он должен проигрывать.
Е. Я. Гик