12
СПЛЕТЕНИЯ
СКРЕШИВАЮЩИХСЯ
ПРЯМЫХ
О. Я. ВИРО,
Ю. В. ДРОВОТУХИНА
Заголовок этой статьи кажется несколько страным, не правда ли? Сплетают что-то гибкое. А тут — прямы! В заголовке, правда, говорится не о процессе сплетения, а, скорее, о результате. Но могут ли быть сплетены, зацеплены друг за друга, хитро расположены по отношению друг к другу скрещивающейся прямы? На первый взгляд кажется, что не могут. Впрочем, откуда у нас это впечатление? В поседневной жизни мы никогда не имеем дела с чем-либо действительно положим на прямы: не так существенно то, что не бывают предметов бесконечного тонких — толщиной мы готовы пренебречь,— существенное отсутствие неограниченной протяженных объектов. Далее лучше света — эти образцы прямейности,— рассеявясь и слабая, на большом расстоянии становятся неощутимыми. На практике приходится иметь дело лишь с отрезками прямы. Любой набор непересекающийся друг с другом отрезков можно,.divяя отрезки так, чтобы они все время оставались непересекающимися, расположить как попало. В этом нас убеждает опит, да и доказать это не трудно. Прямы мы изобрааем их отрезками. Потому-то нам и какется, что прямы не могут быть сплетены. Ну а как на самом деле?
Прежде всего, давайте более точно сформулируем интересующие нас вопросы. Первый вопрос: могут ли несколько непересекающийся прямы располагаться по-разному? А что значит «располагаться по-разному»? Сейчас нас не интересют ни углы, ни расстояния между прямыми. Будем считать, что при движении прямы, в процессе которого они остаются непересекающимися, взаимное расположение их не изменяется. Если же один набор прямы нельзя получить из другого таким движением, то условия считать, что прямы в этих наборах расположены по-разному.
Самыми легкими для нашей пространственного воображения являются наборы параллельных прямы. Ясно, что любые два таких набора, состоящие из одинакового числа прямы, устроены одинаково. Действительно, поворачивая все пространство с «вмороженными» в него прямы одного набора, можно сделать их параллельными прямым другого набора, после чего, перевигая по очереди прямы первого набора так, чтобы они не назвали друг на друга и оставались параллельными, легко совместить их с прямыми второго набора.
Обратимся теперь к произвольным наборам прямы. Можно ли произвольный набор непересекающийся прямы превращать в набор параллельных прямы, как бы «причесать» его? У этой задачи есть простое и неожиданное решение. Попробуйте ответить, не заглядывая в последующей текст. Подумали? Ну, тогда читайте дальше. Ответ — всегда можно. Докажем это.
Возьемем произвольный набор непересекающийся прямы. Выберем две параллельные друг друг плоскости, не параллельные ни одной прямой нашего набора. Зафиксируем точки пересечения первой плоскости с прямыми: поставим там шарниры. Точки пересечения второй плоскости с прямыми тоже зафиксируем, но так, чтобы они были не подвижны только на плоскости, а по прямым могли бы скольить. Другими словами, ограничимся тем, что просверлим во втором
14
пендикулярна плоскости, проходящей через биссектрису и первыше прямые. Так что вовсе не случайно в доказательстве изотопности любых двух пар скрещивающихся прямых углы были сделаны равными 90°. При любой другой величины угла эта конструция доказательства не дает. Более того, дело здесь не в конструкции. Оказывается, две пары скрещивающихся прямых с одинаковыми расстояниями и углами, которые не совмещаются при помощи нашей конструкции, не могут быть совмещены никакой изотопней, в процессе которой расстояние и угол построены. Это связано с заменательным явлением, которое нам еще не раз встретиется. Его стоит обсуждать подробнее.
Орientация и полупорентации
Орientированный прямой называется прямая с выделенным на ней направлением. Направление обычно показывается стрелкой. Примую можно орientировать двумя способами, две прямые — четьрым, набор из прямых — способами. Полупорентация набора прямых называется пара противоположных ориентаций этого набора. Другими словами, полупорентация набора прямых — это его ориентация с точностью до одновременного обращения всех стрелок («с точностью до наборот»). На рисунке 2 показаны две орientации пары прямых, составляющие одну ее полупорентацию.
Каждую пару не перендикулярных прямых можно сначала канонической полупорентацией (т. е. полупорентацией, которая определяется самой парой, точнее, взаимным расположением входящих в нее прямых).
Для этого ориентируем как-либо одну из прямых такой пары и повернем эту прямую так, чтобы она стала паралеллена другой прямой. Такой поворот можно осуществить двумя способами (рис. 3); выберем из них самый экономный — тот, при котором угол поворота наименьший (он единственный, поскольку прямые не ortогональны). Получается ориентированная прямая, она паралелна второй прямой нашей пары, которая тем самым прибретает ориентацию (рис. 4). Таким образом, выбор ориентиции одной из прямых дает ориентацию пары. Если мы выберем противоположную ориентацию этой прямой, то получим противоположную ориентацию пары. Начав с другой прямой, мы получим те же две противоположные друг друга ориентации пары. Эти две ориентации и составляют общанную каноническую полупорентацию.
Изотопия, в процессе которой не меняется угол между прямыми, переводит каноническую полупорентацию в каноническую полупорентацию. Это наводит на мысль рассмотреть еще один тип изотопий — изотопий полупорентационных пары: мы допускаем изменения угла и расстояния между прямыми, но требуем, чтобы в процессе изотопии полупорентация не менялась (полупорентация может
15
быть не канонический). Такая изотопность занимает промежутное положение между наличием произвольной изотопии и наличием изотопии, в процессе которого расстояние и угол (≠90°) не меняются. Уж если между интересующими нас получентрированными парами прямых нет такой изотопии, то не может быть и изотопии, при которой расстояние и угол не меняются. Что же может превращать изотопности получентрированных пар прямых?
Коэффициент зацепления прямых
У каждой получентрированной пара прямых имеет характерISTика, которая может принимать значения +1 и —1. Эта характеристика называется коэффициент зацепления. Она сохраняет при изотопиях, и поэтому если две получентрированные пара прямых имеют разные коэффициенты зацепления, то они не изотопны. Вот как определяется коэффициент зацепления. Имеется самый экономный способ совместить одну получентрированную прямую с другой, скрещивающейся с ней, — перемешать прямую вдоль общего перpendикуляра и поворачивать ее на наименьший угол, необходимый для совместия направлений. При этом прямая будет дивгаться либо как ручка правого буравчика, либо как ручка левого (рис. 5); затем, что тип буравчика не зависит от того, какую из двух прямых мы дивгали. В первом случае коэффициент зацепления равен —1, во втором — +1.
Ясно, что переorientация одной из прямых пары влечет за собой изменение коэффициента зацепления.
Позному при замене ориентации пары на противоположную коэффициент зацепления не меняется, стало быть, является характеристкой получентрированной пары и зависит только от получентации. При отражении в зеркале коэффициент зацепления пары ориентированных прямых меняется (рис. 6).
Вспомним теперь тот несчастный случай, с которым мы столкнулись в поисках изотопии между двумя парами скрещивающихся прямых, сохраняющей расстояния и углы между прямыми (рис. 7). Тогда мы не смогли ответить на вопрос об изотопности наборов, показанных на рисунке 8. Но теперь-то мы знаем, что такие пары (со своим каноническими получентрицами) получаются одна из другой отражением в зеркале и имеют поэтому различные коэффициенты зацепления. Значит, такие пары нельзя соединить изотопией, в процессе которой не меняются расстояния и углы между парыми. А если у двух пар одинаковы расстояния, углы и коэффициенты зацепления, то эти пары можно соединить такой изотопей.
Тройки прямых
Когда мы занимались парами, затемную роль играл общий перpendикуляр пары скрещивающихся прямых. Строю говоря, без него можно было обойтись, но он так естественно связан с прямыми, так надежно соединяет их во что-то целое и обозримое, что было бы страно не воспользоваться им. Теперь хорошо бы найти объекта, столже присущение тройке скрещивающихся прямых. Мы не будем делать это для тройки, прямые которой лежат
16
в трех паралельных плоскостях.
Дело в том, что такое расположение неустойчивое: чуть повернуть любую из прямых, мы получим изображенную тройку, к которой наши конструкции применены.
Итак, рассмотрим произвольную тройку попарно скрещивающихся прямых, не содержащую в трех паралельных плоскостях. Через каждую из этих прямых проведем две плоскости, параллельные двум другим прямым. Так получают шесть плоскостей. Ясно, что они распадаются на три пары паралельных (каждая пара скрещивающихся прямых содержится в двух паралельных плоскостях). Пересекаясь, плоскости образуют параллелепид. Наши прямые являются продолжениями трех его попарно скрещивающихся ребер (рис. 9). Таким образом, любые три попарно скрещивающихся прямые, не лежащие в трех паралельных плоскостях, являются продолжениями ребер неокоторого параллелепида. Этот паралелепид и является обещанным выше объектом, связанным с тройкой прямых. Чем он заменален? Прежде всего, он единствен.
В самом деле, через прямую проходит единственная плоскость, параллельная другой, скрещивающейся с ней прямой, и если эти прямые — продолжение ребер параллелепида, то в этой плоскости лежит одна из его граней. Следовательно, построенная нами шестерка плоскостей однозначно определяется исходной тройкой прямых, и всякий паралелепид, ребра которого лежат на этих прямых, ограничен этих плоскостями и, значит, тоже однозначно определялен.
Мы видим, что несущий паралелепид соединяет прямые тройкиничут не хуже, чем обычный перпендикуляр соединял прямые в пале. Здесь, как в случае общего перпендикара и в случае полученного пары не перпендикулярных прямых, из исходной геометрической конфигурации естественно возникнет нечто дополнительное по отношению к ней, но канонически с ней связанное и потому достойное внимание при изучении исходного объекта.
Загадка. На рисунке 10 изображены, вопроси доказанному выше, два паралелепипед с ребрами, лежащими на трех попарно скрещивающихся прямых. В чем дело? Где спрятан обман — в доказательстве или в рисунке?
Займется классификацией тройки с точностью до изотопий. Как было показано, какую тройку попарно скрещивающихся прямых мы ни взяли, слегка пошевелив ее, мы можем добиться, чтобы ее прямые оказались продолжениями ребер неокоторого параллелепида. Паралелепипед определяется (с точностью до движений) длинами своих ребер и углами между ними. Неперерывной деформацией мы можем сначала сделать все углы прямыми (получим прямогольный параллелепид), а затем все ребра сделать одинаковой длины, например единничной (получим куб; рис. 11). Эта деформация сопроводяется изотопий тройки прямых, являющихся продолжениями ребер параллелепида. Таким образом, нам удалось получить прямые нашей тройки на попарно скрещивающейся ребра единничного куба. Это замечательное достижение. Действительно, теперь мы знаем, что неизотопных наборов из трех попарно скрещивающих прямых не так уж много — не больше, чем тройок попарно скрещивающих прямых ребер у куба. А сколько их? На
17
Первый взгляд, их восемь. В самом деле, фиксируем какую-нибудь гранькуба; как мы видели, в ней содержитсяровно одно ребро из каждой тройки попарно скрещивающихся ребер, и оно может быть любым из четырех ребер этой грани, а троек, содержащих фиксированное ребро,ровно две (рис. 12). Впрочем, восемь — это слишком много. Поворачивая куб, мы можем перевести любое его ребро в любое другое. Так что возможность не больше двух; они и показаны на рисунке 12. Этот успех дает надежду на то, что, действуя таким образом, удastoreть изоппность и троек прямых, показанных на этом рисунке, а значит, и вообще всех троек попарно скрещивающихся прямых. Попробуйте!
Не получается? Не расстраиваетсь, и не должно получиться. Как и у пар ориентированных прямых, у троек (неориентированных!) прямых есть характерISTика, называемая коэффициентом зацепления, которая может принимать значения ±1 и которая сохраняет при изоппях и изменяется при отражении тройки прямых в зеркале. Вот ее определение. В произвольном наборе из трех попарно скрещивающих прямых ориентируем как попало все прямые. Пары прямых, содержащие в нашей тройке, прибегают при этом коэффициенты зацепления (равные ±1). Перемножив их, получим некоторое число (то же +1 или —1), которое и называется коэффициентом зацепления исходной тройки прямых. Оно не зависит от ориентации прямых: переorientрован любую прямую, мы помещаем знак у двух из трех компонентей, что не изменит произведение. Сохранение коэффициента зацепления тройки прямых при изоппии и его изменение при отражении тройки в зеркале вытекают из соответствующих свойств коэффициента зацепления пары ориентированных прямых. Поскольку тройки прямых на рисунке 12 являются зеркальными образами друг друга, их коэффициенты зацепления различны, и эти тройки действительно не изоппны.
Поскольку всякая тройка попарно скрещивающихся прямых изоппна одной из двух троек, изображенных на рисунке 12, две тройки изоппны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые коэффициенты зацепления.
Итак, уже тройки попарно скрещивающихся прямых могут располагаться по-разному. Это оправдывает заголовок статьи, а также то, что в дальнейшем наборы попарно скрещивающихся прямых мы будем назвать просто сплетеями.
Задание
- Найдите коэффициенты зацепления каждой из троек прямых на рисунке 12.
- Прямы, содержащие ребра пространственного четырехугольника ABCD, ориентированны «по кругу» (от A к B, от B к C, от C к D, от D к A). Сравните коэффициенты зацеплений пар прямых, лежащих на противоположных ребрах.
- Докажите, что у всякой тройки попарно
Рис. 12.