Как в металле протекает электрический ток?

Квант 1988, №3 с. 41-43 Тег OV61

со стороны второй, $\vec{F}_{21}$ — соответственно, наоборот. По третьему закону Ньютона $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ , поэтому изменение импульса всей системы равно

$\Delta \vec{P} = m_1 \Delta \vec{v}_1 + m_2 \Delta \vec{v}_2 = (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \Delta t$

— импульс системы меняется только под действием внешних сил. С другой стороны, из выражения (3) следует, что

$\Delta \vec{P} = (m_1 + m_2) \Delta \vec{v}_{\mu M}$ .

Отсюда для центра масс получаем соответствие, аналогичное второму закону Ньютона:

$(m_1 + m_2) \Delta \vec{v}_{\mu M} = (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \Delta t,$

которое можно переписать в более привящном виде:

$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (m_1 + m_2) \vec{a}_{\mu M}.$

(4)

Это — самое главное: центр масс движется так, как будто в нем содержится вся масса системы и к нему приложены все внешние силы. Обратите внимание — именно внешние силы. Внутренние силы системы вообше не влияют на движение ее центра масс. Вот почему движение этой точки во многих случаях оказывается достаточно простым.

Это свойство центра масс имеет многочисленные приложения. Например, теперь вам, наверное, ясно, почему середина палки, брошенной под углом к горизонту (о которой шла речь в самом начале заметки), движется, как и камень, по параболе. В отсутствие треня о воздействии внешняя сила равна $m\vec{g}$ , и, значит, ускорение центра масс, как и ускорение камня, равно $\vec{g}$ , независимо от того, происходит ли вращение палки.

Разберем такой пример. Подъемный краан подает на стропельную площадку тяжелую плиту. Что бы развернуть эту плиту, две рабочих толкают ее в точках $A$ и $B$ с одинаковой по модулю силу (рис. 3). Относительно какой точки начинает повращаться плита? Ручаемся, что многие из вас сразу же ответят так: конечно, относительно точки $C$ , лежащей посередине между точки $A$ и $B$ .

Не торопитесь! Правильный ответ: относительно точки $O$ — центра масс плиты. Посмотрите на уравнение (4). Раз сумма внешних сил равна

Рис. 3.

нулю, значит, равно нулю ускорение центра масс — он и будет оставаться в покое.

В заключение — еще об одном «удобстве» центра масс. Как следует из уравнения (3), в системе отсчета, связанной с центром масс, полный импульс системы тел равен нулю. Ясно, что в такой системе движения должно выглядеть проще — ведь система как целое покопится. Особенно удобно использовать этот пример, если система замкнута. Ведь тогда ускорение центра масса равно нулю (см. уравнение (4)), и связанная с ним система отсчета является инерционной. Например, центральный удар двух упругих шаров в такой системе выглядит так просто, что можно сразу угадаать ответ: после удара шары разлегаются с таким же скоростью, с какими они вначале сбижались. Подумайте сами, почему это так.

А. И. Черночан

Как в металле протекает электрический ток?

Этот вопрос обычно не вызывает затруднений у школьников. Как протекает? Да очень просто. Если между концами проводака, например металлического, поддерживает разность потенциальов, то в нем возникнет электрическое поле. Действия на имеющейся в металле свободные электрины, это поле придает им ускорение в направлении того конца provодака, потенциального которого выше (заряд электринов отрицательный). Возникает направление движения зарядов, которое и является электрическим током.

Нельзя сказать, что такой ответ ошибочен. Все слова в нем верны. Однако этот, на первый взгляд исчерпывающий, ответ сразу же вызывает целый ряд других вопросов и возвращений. Попробуем в них разобраться.

Как движутся электоны при создании между концами проводника разности потенциальов? Казалось бы,ускоренное,ведь на них все время действует сила $\vec{F}=e\vec{E}$ ( $\vec{E}$ — направленность электического поля в проводнике). Но, с другой стороны, если бы это действительное было так, то сила тока в любом сечении проводника со временем возрастала бы, что противоречит закону Ома — при постоянном направлении силы тока, протекающего по проводнику, постоянна: $I=U/R$ . Как же быты? Вспомним о внутреннем устройстве металла.

Валентные электоны atomов металлов связаны с atomами весма слабо. Поэтому при обращении кристаллической решетки они легко отрывают от atomов и образуют довольно плотный электронный газ (далее от каждой atomа оторвется лишь по одному электрону, то их концентрация в таком газе оказывается порядка $n \sim 10^{29}$ $1/\text{m}^3$ , в чем мы можете убедиться самостояльно). Рассуждая выше о протекании тока через металл, мы считали эти электоны свободными. В определенном смысле это верно, но не следует забывать и об их окружении — ионной кристаллической решетке.

Созданная в конце XIX — начале XX веков классическая электронная теория сопротивления металлов предполагала, что в процессе движения под действием электрического поля электоны стalkиваются с ионами кристаллической решетки. Средние этих стalkовенений бывают и такие, при которых электоны всего прибретенную при разгоне в электрическом поле энергии передают решетке. Именно также стalkовенения, их называют эффективными, и ответственны за сопротивление металла. Ostальные стalkовенения для понимания механизма протекания тока можно не принять в расчет (после них изменяется лишь направление скорости электронов, но не ее величины).

Пусть среднее время между соударениями есть $\tau$ . Тогда можно представить себе следующую модель движения электрона в металле, в котором создается электрическое поле. В интервале времени от 0 до $\tau$ электрон движется сускорением $a=e\vec{E}/m$ , и, следовательно, проекция скорости его направленного движения противовызителя. Далее он сноваускоряется электрическим полем, и процесс повторяется. График зависимости проекции скорости упорядоченного движения от времени приведен на рисунке.

Такое кусочно-равноускоренное движение можно представить себе как равномерный дрейф электрона в направлении, противоположном полю, со скоростью $v_{\text{cp}}=eE\tau/(2m)$ . Вычислим связанную с этим движением силу тока.

Число электронов, проходящих через сечение $S$ проводника за время $\Delta t$ , есть $\Delta N=nSv_{\text{cp}}\Delta t$ . При этом переносится заряд $\Delta q=e\Delta N=neSv_{\text{cp}}\Delta t$ . Следовательно, в проводнике протекает ток

$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=nev_{\text{cp}}S=\frac{ne^2\tau}{2m}SE.$

Величина

$j=\frac{I}{S}=\frac{ne^2\tau}{2m}E$

называется плотностью тока.

Оказывается, полученный нами коэффициент при направлении поля $E$ , который составлен только из микросоппических характеристик металла, есть не что иное, как величины, обрат-

ная уделному сопротивлению металла $\rho$ .

Ну вот, кое-что стало просяться. Однако вопросы еще остались. Давайте, например, оценим среднюю скорость направленного движения электронов. Пусть по медному проводнику сечением, скажем, $10\text{ mm}^2$ и концентрацией электронов $n=1,67 \cdot 10^{29} \text{ 1/m}^3$ протекает ток $I=10$ А. Тогда средняя скорость

$v_{\text{cp}} = \frac{I}{neS} \approx 0,04 \text{ mm/c}.$

Если же по известному из эксперимента значению $\rho$ определять время между эффективными соударениями, то оказывается, что $\tau \sim 10^{-14}$ с. Поэтому, если предполагается, что пробег между эффективными соударениями происходит со средней скоростью $v_{\text{cp}} \sim 0,1 \text{ mm/c}$ , то мы приходим к абсурдному утверждению: расстояние между двумя соударениями электрона составляет $l = v_{\text{cp}} \tau \sim 10^{-18}$ м, что на много порядков меньше расстояния между ближайшими ионами в решетке. Следовательно, мы снова чего-то не учили. А не учили мы того, что частицы электронного газа в металле, подобно молекулам идеального газа в сосуде, находятся в постоянном хаотическом движении. Однако, если воспользоваться такой аналогией и вместе $v_{\text{cp}}$ подставить в выражение для $l$ тепловой скорость $v_{\tau} = \sqrt{3kT/m}$ (см. § 11 «Физики 9»), то этого все оказывается недостаточно для согласия с опытными данными (убедитесь в этом самостояльно).

Мы исчерпали возможность классической физики. В действительности последовательная теория сопротивления металлов была построена только в середине двадцатого века с помощью представления квантовой физики. Оказалось, что электроны в металле движутся с гигастимми скорости $v_e \sim 0,01c$ (с — скорость света в вакууме). Это хаотическое движение части электронного газа имеет чисто квантовое, а не тепловое проискождение — оно не прекращается даже при абсолотном нуле температуры. Но и при столбтномх скорости хаотического движения электронов в отсутствие электрического поля средний перенос заряда через відленное сечение проводника равен нулю. При включении электрического поля на это хаотическое движение накладывается упорядоченный дрейф электронов против поля — как это уже было описано выше. Расстояние же между двумя последовательными соударениями определяется именно большой скоростью хаотического движения и составляет для взятого нами конкретного медного проводника несколько десятиков (а может быть, даже сотен) международных расстояний, что уже вполне праводоподобно.

И, наконец, последняя необходимость. Согласно законам квантовочек, электрон в идеальной перiodической кристалической решетке движется так, что он… никакогда не сталькается с понами, ее образуощими. А как же бы тогда со всеми нашими предыдущими умозрителыми построениями? Как же тогда электроны при своем движении в кристалле передают свою энергию решетке?

Оказывается, при низких температурах электроны сталькаются с примесными атомами и других дефектами, всегда имеющимся в решетке реального кристалла. Устраняя их, сопротивление кристалческого металла можно делать все меньше и меньше. При комнатных же температуре электроны в основном рассеяватся на… колбанях решетки. Если в недоввижной решетке они еще могут «строить» свое поведение так, чтобы «обойти» все периодические повторяющиеся ноны, то когда последнее совершают тепловые колбаня, электроны уже никак не могут «следить» за их хаотическим движением и неизбежно сталькаются то с одним, то с другой.

Вот, включите, какие «подводные камни» встречались нам при вимательном рассмотрении, казалось бы, такого ясноого вопроса.

А. А. Варламов