Что такое центр масс

39

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Что такое центр масс» предназначена восемиклассикам, заметка «Как в металле протекает электрический ток?» — девятиклассикам, «О машине времени и теории относительнойности» — десятиклассикам.

Что такое центр масс

Если вы бросите камень под углом к горизонту, он, как известно, попетит по параболе. А если бросить длиную палку, да еще закрутить ее как следует? Конечно, разные точки палки движутся по-разному, описывая довольно сложные траектории, но попет палки в целом чем-то похож на попет камня: подъем, верхнее положение, спуск. Мало того, если пренебречь сопротивлением воздуха, то движение одной определенной точки палки ничем не будет отличаться от движения камня, свободно летящero по параболе. Эта точка — центр масс палки.

Центр масс существует у любого тела, более того — у любой системы тел. Он обладает замечательными свойствами, с некоторыми из них вас познакомит эта заметка.

Начнем с определения положения центра масс. Расмотрим систему материальных точек с массами $m_1, ..., m_n$. Как, зная их координаты, найти координаты этой «самой важной точки»? Ответыглядит так:

$$x_{\mu m} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + ... + m_n x_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n},$$

анаалогично для координат $y_{\mu m}$ и $z_{\mu m}$. Почему именно так определяется центр масс, станет ясно позднее, когда мы рассмотрим его диамические свойства. А пока освоимся с выражением (1), обсуídив несколько связанных с ним вопросов.

a) В случае двух точек массами $m_1$ и $m_2$ выражение для $x_{\mu m}$ имеет наглядный смысл: центр масс лежит

40

между точками, близке к той, у которой масса больше (рис. 1); относение расстояний до точек обратно относению их масс (проверьте это сами). Ясно, что в общем случае центр масс лежит где-то между точками системы, отражая распределение масс в пространстве.

6. Все материалы точки «участуют» в определенной положения центра масс совершенно равноверно. Значит, если расположение масс симметрично относительно какой-то точки, то эта точка и будет центром масс. Например, центр масс однородного шара совпадает с его центром (то же для цилиндра, куба и т. п.).

в) И еще одно. Оказывается (попробуйте это доказать), положение центра масс не изменится, если мы, выделив какую-то часть расстояний системы, сосредоточим всю массу этой части в одной точке — ее центре масс. Например, центр масс проводочного треугольника совпадает с центром масс системы трех точек, расположенных в серединах сторона (массы точек равны массам соответствующих сторона).

Перейдем теперь к самому главному — изучению физических свойств центра масс.

Пусть за малое время $\Delta t$ точки переместятся на $s_1$, …, $s_n$. Тогда, как видно из (1), перемещение центра масс будет равно

$$\vec{s}_{\mu M} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2 + \ldots + m_n s_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(напомним, что проекции вектора перемещения на оси равны изменением соответствующих координат). Разделив перемещение на $\Delta t$, найдем скорость центра масс:

$$\vec{v}_{\mu M} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \ldots + m_n \vec{v}_n}{m_1 + m_2 + \ldots + m_n}$$

(2)

Обратите внимание — в числеlete

Рис. 1.

стoitит не что иное, как полный имплульс системы $\vec{P}$. Поэтому выражение (2) можно записать в виде

$$\vec{P} = (m_1 + m_2 + \ldots + m_n) \vec{v}_{\mu M}.$$

Итак, первое свойство: если всего массу системы мысленно сосредоточить в центре масс, то имплульс этой вообразаемой точки будет равен полному имплульсу системы. Что из этого следует? Мы знаем, например, что имплульс замкнутой системы сохраняется. Значит, если система замкнута, скорость ее центра масс $\vec{v}_{\mu M}$ остается постоянной.

Рассмотрим пример. Оdnородная тонкая палочка длиной $l$ стоит вертикально на гладком полу (рис. 2). Ее отпускают, после чего она падает плашм. Как узнать на сколько сдиенется нижний конец палочки к моменту падания? Одана палочка в поле тяготения не является замкнутой системой; но, раз на нее действуют только вертикальные силы, горизонтальная проекция ее имплульса не меняется, в нашем случае — остается равной нулю. Значит, центр масс не смешается в горизонтальном направлении, т. е. центр палочки упадет в то место, где она стояла, а ее нижний конец сместится на $l/2$.

Продолжим обсуждение свойств центра масс. Рассмотрим систему двух материалов точек массами $m_1$ и $m_2$. Пусть эта система не замкнута, т. е. на каждое тело действуют как внутренние, так и внешние силы. Исподя из второго закона Ньютона, запишем изменение имплульса каждой точки за время $\Delta t$:

$$m_1 \Delta \vec{v}_1 = (\vec{F}_1 + \vec{F}_{12}) \Delta t,$$

$$m_2 \Delta \vec{v}_2 = (\vec{F}_2 + \vec{F}_{21}) \Delta t,$$

где $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ — внешние силы, $\vec{F}_{12}$ — сила, действующая на первую точку