Московский инженерно-физический институт

56

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\log_3(2 \sin x - 1 + 18 \sin^2 x) = -\log_3(1 - 7 \sin x).$$

2. Двое рабочих, работа одновременно, выполнять неоктору работу за 15 минут. Сколько времени потребуется второму рабочему, чтобы выполнить эту работу одному, если известно, что первый рабочный выполнит ее на m часов быстрее, чем второй?

3. Решите неравенство
   $$(c+1) < (c+2) \cdot 3^{\sqrt{x-1}}.$$

4. Правильная четырехугольная парамида SPQRT пересечена плоскостью, равноудаленной от точек S, P, Q, R, T. Определите площадь сечения этой плоскостью шара, вписанного в парамиду SPQRT, если высота парамиды SO имеет длину h, а величины угла SPQ равна α.

Вариант 2

1. Решите неравенство
   $$\sqrt{x^2 - 7,5x + 14} \log_2|x - 3| \leq 0.$$

2. В двух сосудах емкостью по 5 л каждый содержится растор шелочи. Первый сосуд содержит 3 л p-процентного (по объему) растор шелочи, второй — 4 л 2p-процентного растор такой же шелочи. Сколько литров из второго сосуда надо переить в первый, чтобы получить в нем 10-процентный растор шелочи?

3. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} (a^2 - a) \sin \left(\frac{x}{2}\right) + 2 \cos y = a + 5, \\ 3 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + \cos y = 4, \\ a \in \mathbb{R}. \end{cases}$$

4. В правильной четырехугольной парамиде SABCD величины угла BSD, образованного двумя противоположными боковым ребрами SB и SD, равна 2α. Через точку A параллельно прямой BD проведена плоскость π, пересекающая общую линию плоскостей ASC и BSD в точке P, удаленной от прямой SB на расстояние d>0. Определите радиус сферы, описанной около парамиды SABCD, если плоскость π образует с плоскостью основания ABCD угол величины α.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Шарик массой m = 50 г прикреплен к двум одинаковым неверсимымружинам и нити (рис. 1), угол α = 60°, жесткость каждойружины k = 10 H/m. В некоторых моментных объявется, и шарик начинает движение сускорением a = 2 m/c². Найдите максимальный скорость, которое прибретает шарик при своем движении, если расстояние между точками закрепления пружин не превышает удвоенной длины недеформированной пружины. Силой тяжесте прибресьть.

2. Шайба лежит в конечской части на расстоянии r = 20 cm от вертикальной оси конуса (рис. 2). Угол между образующей и осью конуса α = 60°, коэффициент треня между шайбой и чашей μ = 0,8. С какой угловой скорость следует вращать часу вокруг ее оси, чтобы шайба вылетела из чаши?

3. Альфа-частица с кинетической энергей W налетает на первоначально поковшеся ядро atoma геля. При какой энергии частицы слизятся на расстояние r = 1·10⁻¹³ m? Иметь в виду, что в момент максимального слижения скорости обихих частиц одинаковы.

4. В цилиндре с площадью основания S = 100 cm² находится газ при температуре t = 27 °C. На высоте h = 30 cm от основания цилиндра расположен массой m = 60 кг. Какую работу совершит газ при расшириении, если его температур медленно повышить на Δt = 50 °C? Атмосферное давление p₀ = 1,0·10⁵ Pa.

5. По двум параллельным проводникам, находящимся друг от друга на расстоянии l = 0,5 м, перемещают с постоянной скоростью v = 10 м/c проводник-перемычку (рис. 3). Между левыми концами проводников включается последовательная два конденсатора, причем емкость C₂ больше емкости C₁ в n = 1,5 раза. Вся система находится в однородном магнитном поле, направленном перpendicularно к плоскости, в которой лежат проводники. Найдите индикцию магнитного поля, если на конденсаторе емкость C₂ направление U₂ = 0,5 В. Сопротивление проводников пребрежимо мало.

6. Заряженная часть, ускоренная потенциальов U = 200 B, влетала в точке 1 (рис. 4) в области поперечного однородного магнитного поля с индикцией B = 4·10⁻³ Tπ. Расстояние между точками 1 и 2 равно l = 1 м. Найдите относение заряда частицы к емске.

7. Прототип, относение заряда к массе колебаний скорости из точки O (рис. 5) в области