Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

56

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\log_3(2 \sin x - 1 + 18 \sin^2 x) = -\log_3(1 - 7 \sin x).$$

2. Hai công nhân cùng làm một công việc thì hết 15 phút. Hỏi người thứ hai sẽ hoàn thành công việc này một mình trong bao lâu, nếu biết người thứ nhất sẽ hoàn thành nhanh hơn người thứ hai m giờ?

3. Giải bất đẳng thức
   $$(c+1) < (c+2) \cdot 3^{\sqrt{x-1}}.$$

4. Một SPQRT tứ giác đều cắt một mặt phẳng cách đều các điểm S, P, Q, R, T. Xác định diện tích mặt cắt của một quả cầu nội tiếp SPQRT trong mặt phẳng này nếu chiều cao của paramid SO có chiều dài h và góc SPQ bằng α.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{x^2 - 7,5x + 14} \log_2|x - 3| \leq 0.$$

2. Hai bình có dung tích 5 lít, mỗi bình chứa một dung dịch lụa. Bình thứ nhất chứa 3 lít dung dịch lưu huỳnh theo phần trăm p (theo thể tích), bình thứ hai - 4 lít dung dịch 2 phần trăm p của cùng loại lưu huỳnh. Cần đổ bao nhiêu lít từ thùng thứ hai vào thùng thứ nhất để thu được 10% dung dịch ủ chua trong đó?

3. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} (a^2 - a) \sin \left(\frac{x}{2}\right) + 2 \cos y = a + 5, \\ 3 \sin \left(\frac{x}{2}\right) + \cos y = 4, \\ a \in \mathbb{R}. \end{cases}$$

4. Trong một SABCD tứ giác đều, góc BSD tạo bởi hai cạnh đối diện SB và SD bằng 2α. Qua điểm A song song với đường thẳng BD vẽ mặt phẳng π cắt đường thẳng chung của hai mặt phẳng ASC và BSD tại điểm P, cách đường thẳng SB một khoảng d>0. Xác định bán kính của hình cầu ngoại tiếp SABCD paramit nếu mặt phẳng π tạo thành một góc có độ lớn α với mặt phẳng đáy ABCD.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Một quả cầu có khối lượng m = 50 g được gắn vào hai lò xo không thể đảo ngược giống hệt nhau và một sợi dây (hình 1), góc α = 60°, độ cứng của mỗi lò xo k = 10 N/m. Tại một thời điểm nào đó nó xuất hiện và quả bóng bắt đầu chuyển động với gia tốc a = 2 m/s2. Tìm tốc độ cực đại mà quả bóng đạt được trong quá trình chuyển động nếu khoảng cách giữa các điểm buộc của lò xo không vượt quá hai lần chiều dài của lò xo không bị biến dạng. Để oằn mình với lực hấp dẫn.

2. Vòng đệm nằm ở phần cuối cách trục thẳng đứng của hình nón một khoảng r = 20 cm (hình 2). Góc giữa ma sát và trục của hình nón là α = 60°, hệ số ma sát giữa vòng đệm và bát là μ = 0,8. Đồng hồ phải quay quanh trục của nó với tốc độ góc bao nhiêu để quả cầu bay ra khỏi bát?

3. Một hạt alpha có động năng W chạm vào hạt nhân được rèn ban đầu của gel nguyên tử. Ở mức năng lượng nào thì các hạt sẽ kết hợp lại đến khoảng cách r = 1·10⁻¹³ m? Hãy nhớ rằng tại thời điểm hội tụ cực đại, vận tốc của cả hai hạt là như nhau.

4. Một hình trụ có diện tích đáy S = 100 cm2 chứa khí ở nhiệt độ t = 27°C. Ở độ cao h = 30 cm tính từ đáy hình trụ, có khối lượng m = 60 kg. Chất khí sẽ thực hiện bao nhiêu công trong quá trình giãn nở nếu nhiệt độ của nó tăng dần lên Δt = 50 °C? Áp suất khí quyển p₀ = 1,0·10⁵ Pa.

5. Dọc theo hai dây dẫn song song đặt cách nhau l = 0,5 m, một dây dẫn nhảy (hình 3) được chuyển động với tốc độ không đổi v = 10 m/s. Giữa hai đầu bên trái của dây dẫn, hai tụ điện mắc nối tiếp và điện dung C₂ lớn hơn điện dung C₁ n = 1,5 lần. Toàn bộ hệ thống nằm trong một từ trường đều hướng vuông góc với mặt phẳng chứa dây dẫn. Tìm chỉ thị từ trường nếu điện dung trên tụ C₂ có hướng U₂ = 0,5 V. Điện trở của các dây dẫn không đáng kể.

6. Phần tích điện, được gia tốc bởi điện thế U = 200 V, bay vào điểm 1 (hình 4) trong vùng có từ trường đều ngang có chỉ số B = 4·10⁻³ Tπ. Khoảng cách giữa điểm 1 và điểm 2 là l = 1 m. Tìm tỉ số giữa điện tích hạt và điện dung.

7. Nguyên mẫu, tỷ lệ điện tích trên khối lượng của dao động vận tốc từ điểm O (hình5) trong vùng