Phỏng vấn nhà toán học người Mỹ Ronald Graham

21

PHỎNG VẤN VỚI GIÁO SƯ RONALD GRAHAM

— Giáo sư Graham, lần đầu tiên ông quan tâm đến toán học là khi nào và như thế nào? Điều gì ảnh hưởng đến sự lựa chọn của bạn: gia đình, giáo viên, sách, hiện đại?

— Lần đầu tiên tôi cảm thấy rất yêu thích toán học ở trường tiểu học, vào lớp ba hoặc lớp bốn. Tôi đặc biệt nhớ làm thế nào, khi đã làm quen với thuật toán trích căn bậc hai - bạn biết thuật toán giao thoa cũ đó - tôi bắt đầu quan tâm đến việc liệu có thể làm điều tương tự đối với căn bậc ba và lũy thừa cao hơn hay không. Và tôi đã tìm ra cách tương tự lời giải. Tôi được hỗ trợ bởi một giáo viên tốt bụng với sở thích của tôi.

Sau này, khi tôi học cấp hai, có hai giáo viên khác đã giúp đỡ tôi. Thấy tôi có thể giải được bất kỳ bài toán nào trong đại số, có lần giáo viên nói với tôi: “Đây là bài toán mà em không thể giải được.”
Trong bài toán, tôi đã quyết định tốc độ tăng trưởng của quần thể chuột tùy thuộc vào kích thước của chúng, tức là tôi sẽ phải giải một phương trình vi phân. Chà, hóa ra giáo viên đã đúng - tôi không thể giải được bài toán. Sau đó anh ấy đưa cho tôi một cuốn sách giáo khoa phân tích và nói: “Nếu bạn muốn biết lời giải, hãy đọc cuốn sách này.” Tôi đã làm điều đó. Sau đó toán học đã thu hút tôi.

Trước đó, tôi bị mê hoặc bởi các vì sao và dự định trở thành nhà thiên văn học. Mãi sau này tôi mới biết rằng ngắm sao không phải là toàn bộ lĩnh vực thiên văn học. Nhưng khoa học này vẫn khiến tôi quan tâm. Ngoài bằng tốt nghiệp toán học, tôi còn có một bằng khác - vật lý.

Họ chẳng thể làm gì nhiều để giúp tôi ở nhà. Sự thật là trong gia đình chúng tôi, tôi là người đầu tiên tốt nghiệp đại học.

— Làm thế nào bạn trở thành một nhà toán học nghiên cứu?

“Theo những gì tôi nhớ, ở trường trung học và trong năm cuối đại học, tôi không đặt ra mục tiêu như vậy cho bản thân - tôi chỉ thích làm toán.” Sau đó, vào năm 1950, tôi bắt đầu được đào tạo theo một chương trình đặc biệt cho phép tôi vào đại học ngay cả trước khi tốt nghiệp trung học. Để tham gia chương trình này, bạn phải vượt qua một số bài kiểm tra nhất định. Về môn toán, tôi giỏi nhất nước Mỹ. Năm 15 tuổi, tôi vào Đại học Chicago, nơi giáo sư nổi tiếng R. M. Hutchins đã giới thiệu

23

nhà toán học nổi tiếng người Hungary P. Erdes, người đặt lời giải bài toán lên trên mọi thứ khác và đã phát triển tương đối ít lý thuyết có hệ thống. Tôi sẽ nói điều này: đầu tiên bạn thường giải quyết một bài toán cụ thể, sau đó bạn nhận thấy một số loại khuôn mẫu. Nhưng ngay khi một kỹ thuật xuất hiện, áp dụng cho lời giải tất cả bài toán của một loại nhất định, nó có thể được phát triển và biến thành một lý thuyết.

Lĩnh vực toán học mà tôi làm việc là tổ hợp. Trong một thời gian dài nó được coi là một cấu trúc liên kết thực vật yên tĩnh. Khoảng mười hai năm trước, nhà toán học người Pháp J. Dieudonné đã gọi tổ hợp là “toán học cho bữa sáng”. Tôi nghĩ ý của ông ấy là đây chỉ là ngưỡng của giai đoạn phát triển chính của nó. Còn có một thái cực khác: đôi khi, khi nói về tổ hợp, người ta gọi nó là “lý thuyết tổ hợp”. Về mặt lý thuyết, nó vẫn chưa thể so sánh được với cấu trúc liên kết đại số hoặc hình học vi phân, mặc dù nhiều kết quả quan trọng của chúng có tính chất tổ hợp.

bài toán cụ thể có thể được coi là các giai đoạn trong quá trình tạo ra một phương pháp luận hoặc lý thuyết: nếu phương pháp đó phù hợp với lời giải của một bài toán cụ thể nhất định, thì nghiên cứu đang đi đúng hướng. Ở đây một câu hỏi sâu sắc hơn được đặt ra: toán học được tạo ra một cách nhân tạo hay về cơ bản nó là vĩnh cửu? Hầu hết các nhà toán học mà tôi biết đều tin rằng toán học theo một nghĩa nào đó có tác động đáng kể đến con người. Nhưng ở đây chúng ta có thể hỏi: vậy thì phải làm gì với âm nhạc, với Beethoven?

Anh ấy đã mở bản sonata piano dành riêng cho Waldstein*) hay tạo ra nó? Đáp số có lẽ có thể được trình bày như sau: các nguyên tắc hình thành nên nền tảng của bản sonata đã tồn tại, nhưng việc áp dụng trực tiếp chúng, bản thân các nốt nhạc - mọi thứ đã được nhà soạn nhạc tính toán sẵn. Điều tương tự cũng áp dụng cho toán học: bạn có thể

*) Sonata số 21 C.maxor “Aurora”. (Chú ý dịch)

24

nhưng đưa ra một bằng chứng cụ thể chứ không phải các nguyên tắc cơ bản của nó. Lý thuyết số, định lý về sự phân rã thành thừa số nguyên tố của các trạng thái không đổi và ở một hành tinh khác. Trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như cơ học lượng tử, các vật thể quan sát được có thể thay đổi hoặc tạo ra các vật thể quan sát được, mặc dù điều này có vẻ hơi trêu ngươi.

Quay lại câu hỏi của bạn, tôi muốn nói thêm rằng việc giải quyết bài toán cụ thể luôn thú vị, nhưng nó vẫn không mang lại sự hài lòng hoàn toàn. Chúng ta cần phải đi xa hơn: việc khám phá ra một phương pháp quan trọng hơn nhiều so với việc đạt được một kết quả riêng biệt.

— Một trong những độc giả của chúng tôi đã gửi cho chúng tôi bài toán sau đây liên quan đến phỏng đoán Erdsch: $n$ cấp số cộng vô hạn bao gồm $2^n$ số tự nhiên đầu tiên; chứng minh rằng chúng bao trùm toàn bộ chuỗi tự nhiên. Bạn có thể nói gì về điều này bài toán?

— Tuyên bố này, hoặc biến thể của nó với việc thay thế $2^{2n}$ bằng $2n!$, tương đối dễ chứng minh bằng quy nạp. Nhưng thực tế là chính giả thuyết Erdsch (trong đó $2^n$ xuất hiện thay vì $2^{2n}$ - và ước tính này đã chính xác!) đã được chứng minh bởi Crittenden và Van den Eijden (1969). Bằng chứng là khó khăn; nó không thể được thảo luận ngắn gọn.

Với lời giải tương tự như bài toán, giai đoạn đầu tiên rất quan trọng - để đảm bảo giả thuyết có hợp lệ hay không: bạn đang cố gắng xây dựng các biện pháp đối phó hoặc chứng minh một số trường hợp đặc biệt, phát biểu yếu hơn hoặc hậu quả của giả thuyết; Điều này sẽ xảy ra cho đến khi cuối cùng bạn có được niềm tin vào tính xác thực của điều bạn đang chứng minh.

— Các nhiệm vụ về cấp số cộng gắn liền với tên tuổi của Van der Waerden. Có bất kỳ vấn đề tốt về chủ đề này?

— Đây là một bài toán thú vị liên quan đến định lý Van der Waerden: Chúng ta hãy biểu thị, trong số đó, bằng $W(k)$ số tự nhiên nhỏ nhất sao cho bất kỳ phân chia các số từ 1 đến $W(k)$ thành hai lớp, mặc dù một trong số chúng có cấp số cộng $k$ số học. (Van der Waerden đã chứng minh rằng $W(k)$ tồn tại với mọi $k$.) Dễ dàng thấy rằng $W(2)=3$, $W(3)=9$; Người ta cũng biết rằng $W(4)=35$, $W(5)=178$, nhưng $W(6)$ vẫn chưa được tìm thấy ngay cả khi có sự trợ giúp của máy tính. Tôi đề xuất giả thuyết rằng $W(k)$ phát triển không nhanh hơn “tháp” của $k$ hai $2^{2n}$. Nhưng có lý do để nghi ngờ ngay cả ước tính này: có một số tổ hợp tương tự bài toán được liên kết với tên Ramsey, nơi các hàm được tìm thấy thậm chí còn phát triển nhanh hơn. Bạn biết đấy, có Sách kỷ lục Guinness được biết đến rộng rãi ở phương Tây. Vì vậy, có “số lớn nhất thực sự được sử dụng trong chứng minh toán học”. Nó được tôi phát minh ra liên quan đến một vấn đề trong lý thuyết của Ramsey.

— Một bài toán thuộc loại “Ramsevian” này, cũng được Erdsch nghiên cứu, đã được thảo luận gần đây trong «Kvant»: từ số nhỏ nhất của $S(k)$ điểm trong mặt phẳng mà chúng ta có thể cố ý chọn $k$ điểm nằm ở các đỉnh của một $k$-gon lồi? Có một phỏng đoán Sekersch rằng $S(k)=2^{k-2}+1$. Có vẻ như hy vọng chứng minh nó trong trường hợp tổng quát vẫn chưa tăng lên?

• Đúng vậy, việc tìm ra giá trị $S(k)$ hoặc thậm chí đưa ra ước tính chính xác về nó rõ ràng là rất khó bài toán. Bài toán có ​​thể được biểu diễn: chứng minh rằng với một số lượng lớn các điểm $N$ trong số tất cả các $k$-giác có đỉnh tại các điểm $N$ này thì phải có ít nhất $C_k$ lồi, trong đó $C_k>0$ chỉ phụ thuộc vào $k$ và cố gắng ước tính $C_k$. Và đây là một biến thể khác của bài toán này: tìm từ số lượng $n=f(k)$ điểm mà bạn luôn có thể chọn một lồi “trống” $k$-gon (tức là một điểm trong đó không còn bất kỳ điểm $n$ nào bên trong nữa). Hóa ra $f(k)$ như vậy tồn tại đối với $k=3$, 4 và 5, nhưng đối với $k\geq 7$ thì đơn giản là nó không tồn tại. Vì $k=6$ - anh ấy không biết gì cả.

Nói chung, bài toán Erdsham này gọi là “vấn đề với một cục u hạnh phúc”: thực tế là anh ấy và Sekersh đã say mê Esther Klein của anh ấy, và mọi chuyện kết thúc bằng việc… người đó đã trở thành vợ của Sekersh.

— Ông có thể nói đôi điều về nguồn gốc của lý thuyết Ramsey, cho ví dụ về lý thuyết Ramsey, cho một ví dụ về lý thuyết Ramsey như phát biểu:

— Với tư cách là một truyện tranh nhưng là ví dụ điển hình cho lý thuyết của Ramsey, tôi sẽ đưa ra nhận định sau:

25

trong 6 người bất kỳ luôn có 3 người quen theo cặp hoặc 3 người lạ theo cặp.*) Định lý như vậy đã nảy sinh trước Ramsey. Ví dụ, có một định lý nổi tiếng như vậy của I. Schur, bằng chứng của nó có lẽ sẽ bị thu hút bởi người đọc chuẩn bị kỹ càng nhất «Kvant»; đối với bất kỳ cách tô màu nào của các số trong chuỗi tự nhiên thành hai xu, tồn tại một phương trình đơn sắc lời giải (x, y, z) Diffantian x+y=z (tức là, lời giải, bao gồm các số x, y, z dài một centimet). Khi nghiên cứu lịch sử kỹ lưỡng hơn, tôi đi đến kết luận rằng định lý kiểu Ramey lần đầu tiên xuất hiện trong các tác phẩm của D. Hilbert vào năm 1892.

— Nếu chúng ta nói về thời tiền sử của lý thuyết Ramsey, bạn có nghĩ rằng chúng ta không nên dẫn dắt từ kết quả của Schur mà từ “nguyên nhân của những chiếc hộp” của Dirichlet không?

• Thôi, chuyện này xa quá rồi, đây là thời của Adam và Eva!

— Có bài toán bất ngờ trở nên nổi tiếng. Ví dụ: tất nhiên, bạn đã nghe nói về điều này: bắt đầu với một số tự nhiên x₀, hãy đặt x₀+1=x₀/2 nếu x₀ là số chẵn và x₀+1=(3x₀+1)/2 nếu x₀ là số lẻ; Có phải luôn có số 1 trong chuỗi này không (sau đó nó đi vào vòng lặp)? Gần đây, các học sinh đã mang đến cho chúng tôi một tờ thí nghiệm máy móc khổng lồ cho thấy hành vi của trình tự này khó dự đoán đến mức nào. Mọi người có thích bài toán thú vị với bạn không?

• Về bài toán như vậy - được xây dựng đơn giản, nhưng đôi khi rất phức tạp - thật khó để nói trước liệu chúng có ý tưởng toán học nào trong đó hay không, chúng có phức tạp hay không, liệu có đáng để chi nhiều số hơn cho chúng hay không. Nhưng trong số bài toán về “tương tác” có những điều thực sự đáng kinh ngạc. Ví dụ: bạn biết các chuỗi được xác định bằng các công thức đơn giản như x₀+1=x₀(a−x₀) thường hoạt động như thế nào. Hãy sử dụng công thức phức tạp hơn này: x₀+2=(1+x₀+1)/x₀. Hóa ra (nếu nó không chứa 0 hoặc -1), nó luôn có chu kỳ là 5. Và x₀+3=(1+x₀+1)+x₀²)/x₀ - với chu kỳ là 8. Có ví dụ tương tự nào khác không? (Dường như đối với các biểu thức tuyến tính bằng số

*) Xem bài viết của M. Gardner trong số này. (Ghi chú của biên tập viên)

phần thân và mẫu số không còn ở đó nữa, nhưng chúng có thể được xây dựng từ các đa thức ở bậc cao hơn.)

Một ví dụ khác: hãy đặt

xₙ+1=[√2xₙ(xₙ+1)], x₁=1,

trong đó […] là “toàn bộ phần”; thì các số hạng đầu tiên sẽ là 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13. Rõ ràng, xₙ tăng xấp xỉ bằng √2n, do đó xₙ+2 có kích thước xấp xỉ gấp đôi xₙ. Hóa ra dₙ=x₂n+1−2x₂n+1 sẽ là 0 hoặc 1, và nếu chúng ta viết chúng theo thứ tự, chúng ta sẽ nhận được 1,011010100 … - chính xác là ký hiệu kép √2! Ví dụ, với √3, tôi không còn biết điều gì như thế này nữa.

Ví dụ cuối cùng: đặt ψ₁=2, ψₙ+1=ψₙ−1/ψₙ. Liệu ψₙ có bị giới hạn không? Đáp số gần như chắc chắn là dương, nhưng không ai biết cách chứng minh điều đó.

— Bạn có nghĩ rằng khoa học tính toán, khoa học thông tin sẽ hấp thụ được toán học không?

• Đây là một câu hỏi khá khó. Hầu hết các nhà khoa học tài năng nhất ở Hoa Kỳ đều sử dụng máy tính ngay từ khi mới bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình. Nếu họ quan tâm đến đồ thị hoặc số, thì rất nhiều thí nghiệm có thể được thực hiện trên máy tính. Khi chơi trò chơi trên máy tính, học sinh ở Hoa Kỳ bắt đầu sử dụng máy tính ở độ tuổi 6-7 tuổi. Sau đó, phạm vi nghiên cứu toán học có thể được mở rộng bằng cách sử dụng cùng một máy tính.

Tình hình trên thị trường lao động là nhu cầu về các chuyên gia về phương pháp tính toán là rất lớn. Vì vậy, nhiều bạn trẻ tài năng coi máy tính là nghề nghiệp tương lai của mình.

Cả các nhà toán học trẻ và đã thành danh đều đi đến kết luận rằng thí nghiệm tính toán là nguồn gốc của bài toán quan trọng và thú vị. Ví dụ, tại Cuộc thi Quốc tế Berkeley, kết quả của ba trong số mười sáu bài báo toàn thể đều dựa trên việc sử dụng máy tính. Công việc của các nhà toán học có khối lượng lớn liên quan đến “máy siêu khối”. Chúng bao gồm khoảng 64.000 quy trình, được kết nối