Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn

56

Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. BUZDIN,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. S. KROTV

Năm ngoái, kỳ thi tuyển sinh đại học môn vật lý được tổ chức theo chương trình mới, trong đó có một số câu hỏi mà trước đây chưa có. Vì vậy, một chủ đề mới đã xuất hiện: “Tính chất bề mặt chất lỏng. Sức căng bề mặt. Làm ướt. Hiện tượng mao dẫn” (chúng tôi đã đưa ra cách diễn đạt nguyên văn), điều này giúp ban giám khảo có thể đưa ra bài toán về loạt vấn đề này.

Vì loại hình này thực tế không có trong sách giáo khoa luyện thi đại học trong những năm gần đây và chủ đề này có rất nhiều chi tiết phức tạp nên khi viết bài này, chúng tôi đã tìm cách ngăn chặn khả năng xảy ra các tình huống thi bất ngờ. Đây là một phần lý do tại sao chúng ta sẽ chú ý hơn đến việc thảo luận các vấn đề lý thuyết riêng lẻ chứ không chỉ giải quyết lời giải của tiêu chuẩn bài toán.

Sức căng bề mặt

Để bắt đầu, cần nói vài lời về đặc điểm kỹ thuật của lực căng bề mặt tác dụng tại ranh giới của chất lỏng và hơi của nó.

Như bạn đã biết, các phân tử chất lỏng rất gần nhau nên không tính đến sự tương tác giữa chúng. Vì vậy, khi ước tính nội năng của hệ hơi-lỏng, không chỉ động năng đóng vai trò quan trọng.

57

chuyển động của các phân tử mà còn cả thế năng tương tác của chúng.

Bán kính tương tác đặc trưng giữa các phân tử chất lỏng xấp xỉ bằng khoảng cách trung bình giữa chúng, do đó mỗi phân tử thực sự chỉ tương tác với các lân cận gần nhất của nó. Các phân tử gần bề mặt tự do của chất lỏng ở vị trí đặc biệt so với các phân tử khối, vì chúng tương tác với các phân tử của cả chất lỏng và hơi của nó (và tương tác này yếu hơn nhiều). Chúng ta có thể nói rằng các phân tử của lớp bề mặt chiếm một phần năng lượng tiềm năng khác nhau của hệ thống so với các phân tử khối.

Rõ ràng là khi sự thay đổi hình dạng của chất lỏng xảy ra ở một thể tích nhất định và nhiệt độ cố định, thì nội năng tương ứng với các phân tử khối không thay đổi và sự đóng góp của năng lượng bề mặt sẽ lớn hơn, diện tích bề mặt tự do của chất lỏng càng lớn.

Hệ số bề mặt chất lỏng $\sigma$ được gọi là công tương đối $\Delta A$, phải được thực hiện để tăng diện tích bề mặt của chất lỏng theo các giá trị $\Delta S$, lên giá trị $\Delta S$, tức là.

$$\sigma = \frac{\Delta A}{\Delta S},$$

hoặc chúng ta có thể nói rằng hệ số diện tích bề mặt chất lỏng trên một đơn vị diện tích bề mặt.

Các vật thể mà vai trò của bề mặt chất lỏng được thể hiện rõ ràng nhất là màng xà phòng.

Hãy xem xét tình huống sau đây. Một vòng sợi có chiều dài $l$ (hình 1, a) nổi trên màng xà phòng. Phần màng bên trong sợi chỉ được xuyên thủng cẩn thận. Sợi chỉ có hình dạng gì? Lực căng của sợi dây ở vị trí cân bằng là bao nhiêu nếu hệ số căng bề mặt của chất lỏng ở khoảng cách xà phòng là $\sigma$?

Rõ ràng, sau khi xuyên qua, lớp màng còn lại sẽ hoạt động theo cách giảm thiểu kích thước bề mặt của nó. Điều này sẽ dẫn đến thực tế là đối với một chiều dài ren nhất định ($l$), lỗ tạo thành hình có diện tích tối đa. Như bạn đã biết, hình như vậy sẽ là một hình tròn (hình 1, b). Bán kính của hình tròn sẽ được tìm thấy từ sự tương ứng

$$2\pi r = l, \quad t. e. \quad r = \frac{l}{2\pi}.$$

Để xác định độ căng của sợi chỉ, hãy xem xét một phần tử nhỏ có chiều dài $\Delta l = r\Delta \varphi$ (hình 2). Nó chịu tác dụng của hai lực căng $T_1$ và $\vec{T}_2$ ($T_1 = T_2 = T$), tác dụng từ các đoạn sợi liền kề với phần tử và hướng tiếp tuyến, và lực $2\vec{F}_h$ của bề mặt chất lỏng của màng xà phòng ($\vec{F}_h$ là lực từ một bề mặt của màng). Từ điều kiện cân bằng của phần tử ren ta thu được (hình chiếu của lực theo hướng về tâm vòng tròn):

$$2T \frac{\Delta \varphi}{2} - 2F_h = 0$$

(chúng ta đã học phần tử nhỏ và đặt sin $\varphi = \varphi$). Để tìm lực $F_h$, chúng ta hãy cho phim (về mặt tinh thần) cơ hội co lại thêm nữa, để phần tử $\Delta l$ di chuyển theo lượng $\Delta s$. Năng lượng của màng sẽ giảm $\Delta E = 2\sigma \Delta l \cdot \Delta s$ do tác dụng của lực

58

độ căng màng $\Delta A=2F_{\text{H}}\Delta s$. $\Delta E=\Delta A$ và $F_{\text{H}}=\sigma \Delta l$ đến từ đâu.

Do đó, hệ số căng bề mặt (đặc điểm trong trường hợp này là một trong các bề mặt của màng xà phòng) nhận được một cách giải thích khác - đây là lực tác dụng lên một phần tử tuyến tính duy nhất của ranh giới bề mặt và vuông góc với phần tử này:

$$\sigma = \frac{F_{\text{H}}}{\Delta l}$$

Vì $T \Delta \varphi=2F_{\text{H}}$ nên lực căng của dây sẽ bằng

$$T = 2 \frac{F_{\text{H}}}{\Delta \varphi} = \sigma \frac{l}{\pi}$$

Chúng tôi tập trung vào bài toán một cách chi tiết vì nó cho thấy sự biến dạng của lực kéo bề mặt đến từ đâu. Hóa ra, để thực hiện các phép tính định lượng, thật thuận tiện khi tưởng tượng rằng sự hiện diện của bề mặt năng lượng tương đương với sự hiện diện của bề mặt chất lỏng ở trạng thái bị kéo căng. Trong trường hợp này, người ta giả định rằng các lực kéo căng màng tác dụng lên ranh giới tuyến tính của nó. Nếu ranh giới này được vẽ ra trong tâm trí, để phim thành hai phần thì các phần đó sẽ tương tác với nhau bằng các lực vuông góc với ranh giới. Có vẻ như tất cả những điều này rất giống với việc kéo căng một màng cao su. Tuy nhiên, có một sự khác biệt cơ bản. Nó nằm ở chỗ khi bề mặt của màng chất lỏng tăng lên thì lực bề mặt không đổi, trong khi khi độ giãn của màng cao su tăng lên thì lực căng trong nó tăng lên. Vì vậy, thực sự có một sự tương tự, nhưng bạn cần sử dụng nó một cách cẩn thận. Tuy nhiên, với lời giải bài toán “ngôn ngữ quyền lực” thường quen thuộc hơn và đáng để thành thạo hơn. Về vấn đề này, chúng ta cũng hãy xem xét bài toán.

Bài toán 1. Màng của hai chất lỏng được ngăn cách bằng một thanh di động

Hình 3.

chiều dài $l$ (hình 3). Hệ số căng bề mặt của một chất lỏng là $\sigma_1$, chất kia là $\sigma_2$. Để thanh đứng yên thì phải tác dụng lực bao nhiêu?

Hãy để xác định $\sigma_2>\sigma_1$. Để yên, hệ có xu hướng chuyển sang trạng thái có năng lượng bề mặt tối thiểu, trong khi một màng có hệ số căng bề mặt lớn sẽ có xu hướng co lại, đồng thời kéo căng màng kia và di chuyển màng. Lực tác dụng lên phía bên phải của chất lỏng sẽ bằng $F_2=2\sigma_2l$ và ở phía bên trái - $F_1=2\sigma_1l$ (chúng tôi đã dạy rằng màng có hai bề mặt). Để thanh cân bằng thì phải tác dụng một lực

$$F=F_2-F_1=2(\sigma_2-\sigma_1)l$$

Bài toán 2. Bán kính ngoài của bong bóng xà phòng là $R$, độ dày thành bong bóng là $h$. Áp suất không khí của bong bóng là gì? Áp suất trong độ dày của màng xà phòng là bao nhiêu? Giả sử màng mỏng ($h \ll R$). Áp suất không khí bàng quang $p_0$. Hệ số căng bề mặt của thanh xà phòng là $\sigma$.

Hình dạng hình cầu nổi tiếng của bong bóng xà phòng là do tác dụng của lực căng bề mặt. Thật vậy, nếu thế năng của màng xà phòng trong trường hấp dẫn có thể biến đổi so với năng lượng bề mặt của nó (đây là trường hợp của màng mỏng), thì năng lượng bề mặt đó sẽ chịu trách nhiệm cho dạng hình học quan sát được. Nhưng với một thể tích không khí chứa bong bóng bên trong không đổi thì hình có diện tích bề mặt nhỏ nhất sẽ là một quả bóng. Do đó, ở trạng thái cân bằng màng sẽ có dạng vỏ cầu.

Chia (trong đầu) một cái vỏ hình cầu thành hai nửa bằng nhau và đặt khoảng cách giữa chúng (hình 4). Hãy viết các điều kiện cân bằng của bề mặt bán cầu bên ngoài và bên trong. Phần bên ngoài (bán kính $R$) chịu tác dụng của lực áp suất bên ngoài $F_1=p_0\pi R^2$ (bạn tự trình bày), hướng xuống dưới, lực

59

sức căng bề mặt $F_2 = \sigma \cdot 2\pi R$, hướng xuống dưới và phản lực với chúng, hướng lên trên do áp suất của chất lỏng cuộn (màng chất lỏng cong) $F_3 = p_2\pi R^2$.
Trạng thái cân bằng của màng có nghĩa là
$$F_1 + F_2 - F_3 = 0,$$
tức là
$$p_0\pi R^2 + 2\pi R\sigma = p_2\pi R^2,$$
từ đó chúng ta đạt được áp suất mong muốn theo độ dày của màng:
$$p_2 = p_0 + \frac{2\sigma}{R}.$$
Lực áp suất của màng chất lỏng hướng xuống dưới và bằng $F_4 = p_2\pi(R - h)^2$, áp suất căng bề mặt $F_5 = \sigma \cdot 2\pi(R - h)$ hướng xuống dưới và áp suất không khí bên trong viên đạn $F_6 = p_1\pi(R - h)^2$ hướng lên trên tác dụng lên bề mặt bên trong. Điều kiện cân bằng của bề mặt bên trong cho rằng
$$F_4 + F_5 - F_6 = 0,$$
không khí bên trong viên đạn đến từ đâu:
$$p_1 = p_2 + \frac{2\sigma}{R - h},$$
hoặc
$$p_1 = p_0 + 2\sigma \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R - h} \right).$$

Hiện tượng mao mạch

Bây giờ chúng ta hãy xem xét bề mặt của chất lỏng sẽ hoạt động như thế nào khi ở gần thành bình chứa nó.
Rõ ràng, khi tính đến thành bình, hai thuật ngữ nữa sẽ được thêm vào biểu thức chung cho năng lượng của hệ chất lỏng - hơi - thành bình. Đây là năng lượng tương tác của các phân tử chất lỏng với các phân tử của vách (ở nhiệt độ nhất định, số lượng bề mặt tiếp xúc càng nhiều thì khả năng

chất lỏng chảy và bình) và năng lượng tương tác giữa các phân tử hơi và thành. Vị trí cân bằng của bề mặt chất lỏng và hơi của nó gần thành bình sẽ được thiết lập sao cho tổng thế năng của hệ đạt giá trị tối thiểu.
Trong hầu hết các trường hợp, điều này dẫn đến thực tế là bề mặt chất lỏng gần các bức tường bị cong.

Do đó, nếu tương tác giữa các phân tử chất lỏng và thành bình trở nên rộng nhất so với các tương tác phân tử khác—chất lỏng làm ướt bình— thì bề mặt tiếp xúc giữa chất lỏng và hơi gần thành bình “leo” lên trên và một góc nhất định $\theta$ với phương thẳng đứng (hình 5) được hình thành. Góc $\theta$ được gọi là góc tiếp xúc. Ở nhiệt độ cố định, nó sẽ luôn giống nhau đối với chất lỏng và vật liệu tường nhất định. Sự tương tác của các phân tử chất lỏng với các phân tử của thành bình càng mạnh so với sự tương tác của các phân tử chất lỏng thì góc $\theta$ càng nhỏ. Trong giới hạn, khi $\theta \rightarrow 0$, họ nói rằng chất lỏng làm ướt hoàn toàn vật liệu của thành bình. Ngược lại, khi lực hút của các phân tử chất lỏng với nhau thay đổi so với lực hút của các phân tử chất lỏng và thành bình, chúng ta có trường hợp chất lỏng không chuyển động. Trong trường hợp này, góc $\theta$ là góc tù. Trong giới hạn, khi $\theta \rightarrow \pi$, chúng ta nói về sự không dịch chuyển hoàn toàn và ranh giới chất lỏng gần thành bình hoạt động như thể chất lỏng đang đẩy khỏi bình.

Chúng ta hãy minh họa điều này bằng bài toán sau.

Bài toán 3. Trong một ống hình trụ mỏng nằm ngang có một giọt: a) làm ướt; b) chất lỏng không chuyển động. Điều gì sẽ xảy ra với giọt nước nếu

60

Tôi có nên nối một ống (có một đầu) không?

Vì hệ số của bề mặt ứng dụng phụ thuộc vào nhiệt độ (giảm khi tăng), khi một đầu của ống, chẳng hạn như đầu bên trái, được làm nóng, lực của bề mặt ứng dụng ở bên phải sẽ bắt đầu chiếm ưu thế và giọt nước sẽ di chuyển - sang bên phải nếu chất lỏng ướt và sang bên trái nếu nó không làm ướt vật liệu ống.

Nhân tiện, hãy tự trả lời câu hỏi này. Để thuốc mỡ chống thấm thấm vào ủng tốt hơn, nên làm nóng chúng như thế nào: từ bên ngoài hay từ bên trong?

Bây giờ chúng ta hãy xem xét kỳ thi tiêu chuẩn bài toán của những năm trước.

Bài toán 4. Chiều cao của chất lỏng dâng lên giữa hai tấm kính thẳng đứng song song, khoảng cách giữa chúng là d (hình 6) là bao nhiêu? Hệ số bề mặt σ, mật độ chất lỏng ρ, làm ướt hoàn toàn.

Đặt chiều rộng của tấm là L, khi đó dọc theo chu vi của ranh giới trên của chất lỏng dọc theo các tấm kính có áp suất bùn $F_H=2\sigma L$ (hệ số “2” xuất hiện do có hai tấm), hướng thẳng đứng lên trên, vì quá trình làm ướt hoàn tất. Bùn này là chất lỏng giữa các tấm, có nghĩa là nó bằng với bùn của chất lỏng này:

$$F_H=\rho g L d$$

(Ldh là thể tích chất lỏng dâng lên giữa các tấm). Sử dụng biểu thức thu được trước đó cho $F_H$, cuối cùng chúng ta tìm được độ cao của chất lỏng dâng lên:

$$\Delta p=\rho g h,$$

hoặc, thay thế biểu thức tìm được cho h,

$$\Delta p=\frac{2\sigma}{d}.$$

Bây giờ không khó để giải quyết bài toán cuối cùng.

Bài toán 5. Giữa hai tấm kính hình vuông nằm ngang có một lớp nước dày d=0,3 mm. Phải tác dụng lực nào lên các tấm trên bề mặt để làm vỡ chúng? Mặt tấm a=10 cm, hệ số mặt nước σ=7,3·10^{-2} H/m, làm ướt hoàn toàn.