Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

62

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanava

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Toán và Cơ học, Vật lý, Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển)

1. Tổng các chữ số của một số có ba chữ số nhất định là 11. Nếu bạn trừ 594 cho một số có cùng chữ số nhưng theo thứ tự ngược lại, bạn sẽ nhận được số mong muốn. Tìm số có ba chữ số này nếu bạn biết tổng của ba tích từng cặp của các chữ số của số này là 31.

2. Giải bất đẳng thức $x - \sqrt{1-x} \leq 0$.

3.1. (khoa toán và cơ học) Các số $x, y, a$ sao cho
$$\begin{cases} x + y = a - 1, \\ x^2 + y^2 = 5a^2 - 3a + 0,5. \end{cases}$$

Ở sản phẩm nào $a$ thì $xy$ có giá trị lớn nhất?

3.2 (khoa vật lý)
Giải phương trình
$$\log_{3x+7}(9+12x+4x^2) + \log_{2x+3}(6x^2+23x+21) = 4.$$

3.3. (Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển)
Giải phương trình
$$8\cos x = \frac{1}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}}{\sin x}.$$

4. Tìm diện tích hình vuông bao quanh một tam giác vuông có các hình vuông $a$ và $b$ (cạnh hình vuông nằm trên cạnh huyền và hai đỉnh nằm trên hình vuông của tam giác).

5. Cả bốn mặt của tam giác đều là những tam giác đều bằng nhau, độ dài các cạnh bằng $\sqrt{3}$. Tìm độ dài đáy của các tam giác này nếu biết thể tích của đáy là $\frac{2}{3}$.

Tùy chọn 2
(Khoa Thư viện và Khoa học Đất)

1. Hai vận động viên trượt tuyết lần lượt xuất phát với thời gian nghỉ là 2 phút. Dốc trượt tuyết thứ hai của thỏa thuận nằm cách điểm xuất phát 1 km. Đến chỗ rẽ ở mốc 5 km, người trượt tuyết thứ hai quay lại và gặp người trượt tuyết thứ nhất. Cuộc gặp gỡ này diễn ra 20 phút sau khi cuộc đua trượt tuyết đầu tiên bắt đầu. Tìm vận tốc của người trượt tuyết đầu tiên.

2. Giải phương trình
   $$\log_3(3^x-8) = 2-x.$$

3.1. (khoa đất đai)
Giải phương trình
$$\sqrt{10-18\cos x} = 6\cos x - 2.$$

3.2 Với $a$ thì phương trình $\cos(\sqrt{a-x^2}) = 1$ bằng 8 lời giải là gì?

4. Một hình thang đều có góc nhọn $a$ ở đáy và chiều cao $h$ được vẽ thành một hình tròn có bán kính $r$. Tìm diện tích của hình thang.

5. Thể tích của một đa giác tam giác đều là $V$, góc giữa hai đường chéo của hai mặt vẽ từ cùng một đỉnh là $a$. Tìm cạnh của đáy của hình gốc.

Tùy chọn 3
(khoa địa kịch và địa chất)

1. Hai người đi xe máy cùng lúc rời khỏi điểm $A$, đi với tốc độ khác nhau nhưng không đổi đến điểm $B$ và khi đến gần thì lập tức quay lại. Người tạo động lực đầu tiên, sau khi vượt qua người thứ hai, gặp anh ta trên đường về ở khoảng cách 13 km từ $B$, sau đó, đến $A$ và quay lại $B$, anh ta gặp người tạo động lực thứ hai, đã đi được $\frac{1}{7}$ khoảng cách từ $A$ đến $B$. Tìm khoảng cách từ $A$ đến $B$.

2.1. (Khoa Địa lý).
Giải phương trình
$$\log_3\left(\frac{3}{x}\right) - \log_3\left(\frac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2} + \log_2\sqrt{x}.$$

2.2. (Khoa Địa lý)
Giải phương trình
$$\sqrt{1+4x-x^2} = x-1.$$

3. Giải phương trình
   $$\sin 7x - \sin x + 2\cos^2 2x = 1.$$

4. Tìm các góc của một tam giác vuông nếu bạn biết bán kính hình tròn là 2 và cạnh huyền là 13.

5.1. (Khoa Địa lý)
Góc giữa cạnh bên và đáy của một tứ giác đều bằng $60^\circ$, cạnh bên bằng $a$. Một mặt phẳng được vẽ qua giữa một trong các xương sườn bên, vuông góc với nó. Tìm diện tích mặt cắt ngang.

5.2. (Khoa Địa lý)
Giải phương trình
$$\log_{\frac{x+1}{5}}(x^2-6x+9) \geq 0.$$

Tùy chọn 4
(Khoa Hóa học)

1. Từ bình chứa 80 g dung dịch muối ăn 10%, đổ một phần dung dịch tân hướng vào ống nghiệm và làm bay hơi cho đến khi phần trăm muối trong ống nghiệm tăng gấp đôi. Sau đó, dung dịch đã đun sôi được đổ lại vào bình. Kết quả là hàm lượng muối trong bình tăng thêm 2%. Đổ bao nhiêu dung dịch từ bình vào ống nghiệm?

2. Giải phương trình $(x^2-4)\sqrt{x+1} = 0.$

3. Giải phương trình
   $$\sin x = \sqrt{\sin^2 3x - \sin^2 2x}.$$