Kvant
Tài liệu thi cử

Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

Кузьмин Ю. Н. и др.

Kvant 1988, số 4tr. 64Thẻ H5PG

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

64

  1. Giải bất đẳng thức
    log⁡2(7x+8)log⁡2(5)−log⁡2(x2+5x)log⁡2(5)<0;\frac{\log_2(7x+8)}{\log_2(5)} - \frac{\log_2(x^2+5x)}{\log_2(5)} < 0;
    a2−3a+4log⁡212≤0.a^2 - 3a + 4 \log_2 \frac{1}{2} \leq 0.

  2. Tìm miền xác định của hàm
    y=x+8log⁡0,3(x2+32x).y = \frac{\sqrt{x+8}}{\log_0,3(x^2 + \frac{3}{2}x)}.

  3. Vẽ đồ thị hàm số
    a)y=(2−x2)3x+5∣3x+5∣;a) y = (2-x^2)\frac{3x+5}{|3x+5|};
    log⁡3(8−3x)\log_3(8-3x)
    b)y=(4−3x)2−7.b) y = \sqrt{(4-3x)^2} - 7.

  4. Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Bán kính của các đường tròn là 3 và 6. Tìm khoảng cách từ điểm tiếp xúc đến tiếp tuyến chung ngoài.

  5. Trong một hình thang cân, các đường chéo vuông góc với nhau. Tìm chiều cao của hình thang nếu hai đáy của nó là 4 và 6.

  6. Tìm chiều cao của hình thang nếu đáy của nó là hình chữ nhật, một trong các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài các cạnh còn lại là 7, 8 và 4.

  7. Cơ sở nhận biết trực tiếp là hình thoi. Đường chéo của đối tượng địa lý là 8 và 5, chiều cao của đối tượng địa lý là 2. Tìm diện tích bề mặt.

  8. Cạnh của hình lập phương bằng 2. Một mặt phẳng được vẽ qua đường chéo của hình lập phương, song song với đường chéo của đáy, mặt phẳng này không có điểm chung với hình vuông chéo. Tìm diện tích của mặt cắt kết quả.
    Ấn phẩm được biên soạn bởi T. F. Kirichenko

Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa vật lý cơ và vật lý phóng xạ)
1: Giải phương trình
1314(6x+2)+3136(5⋅6x−1−1)−3221(2⋅6x−3)=0.\frac{13}{14(6^x+2)} + \frac{31}{36(5 \cdot 6^{x-1}-1)} - \frac{32}{21(2 \cdot 6^x-3)} = 0.
2. Giải hệ phương trình
{25x+9y2=−37,5(x+2)1/2y=2.\begin{cases} 25x+9y^2 = -37, \\ 5(x+2)^{1/2}y = 2. \end{cases}
3. Giải phương trình
10sin⁡2x+3cos⁡2x+3sin⁡2x=2.10 \sin^2 x + 3 \cos^2 x + 3 \sin 2x = 2.
4. Giải bất đẳng thức
63+8(log⁡1/3x27)(log⁡1/3(27x))+21log⁡3x>0.63 + 8 \left(\log_1/3 \frac{x}{27}\right) \left(\log_1/3 (27x)\right) + 21 \log_3 x > 0.
5. Trong một paramid lục giác đều, góc α giữa các gam bên liền kề và thể tích V của quả cầu nội tiếp trong paramid được cho. Tìm chiều cao của paramid.

Tùy chọn 2
(Khoa kỹ thuật điều khiển học và khoa kinh tế và quản lý sản xuất)

  1. Giải hệ phương trình
    {35log⁡42x+36log⁡32y=99,7log⁡1/4x−6log⁡1/3y=1.\begin{cases} 35 \log_4^2 x + 36 \log_3^2 y = 99, \\ 7 \log_{1/4} x - 6 \log_{1/3} y = 1. \end{cases}
  2. Biết rằng cos 2x = 45\frac{4}{5}. Chứng minh rằng ctg2 3x là một số hữu tỉ và tìm số đó.
  3. Giải bất đẳng thức
    ∣4x2+35x+38∣>∣12x2+33x+32∣.|4x^2 + 35x + 38| > |12x^2 + 33x + 32|.
  4. Giải phương trình
    27−36cos⁡22x36cos⁡22x+4cos⁡6x−27−29cos⁡2x−6=0.\frac{27 - 36 \cos^2 2x}{36 \cos^2 2x + 4 \cos 6x - 27} - \frac{2}{9 \cos 2x - 6} = 0.
  5. Trong một paramid ngũ giác đều, góc lưỡng diện φ được cho ở cạnh bên. Tìm góc phẳng tại đỉnh của mặt bên.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

  1. Một viên đạn bay với tốc độ v=400 m/s vào tâm quả bóng được treo bởi một nanite có chiều dài l=4 m và nảy ra khỏi nó một cách đàn hồi. Xác định cosin của góc mà sợi dây lệch đi nếu khối lượng của viên đạn là m=20 g và khối lượng của quả bóng là M=5 kg.
  2. Tìm gia tốc của xi lanh trượt dọc theo máng. Máng xối có dạng một góc nhị diện, góc của nó là 2α, cạnh nghiêng với đường chân trời một góc β, các mặt phẳng tạo thành các góc bằng nhau với đường chân trời. Hệ số ma sát giữa hình trụ và mặt rãnh μ.
  3. Một vật chuyển động dọc theo trục X (theo chiều dương) với vận tốc không đổi v=5 m/s. Thế năng của vật thay đổi dọc theo trục theo định luật W = (-10^-2x) J. Tìm công suất phát triển bởi sự hợp nhất điện trở làm biến đổi chuyển động toàn phần.
  4. Trong một ống thủy tinh bịt kín một đầu, chiều dài l = 70 cm, có một ống thoát khí, phía trên được khóa bằng một thanh trượt có chiều cao h = 20 cm, chạm tới mép trên của ống. Ống được lật lại cẩn thận và một phần của quy trình được đổ ra ngoài. Chiều cao của thân ống còn lại trong ống là bao nhiêu nếu áp suất khí quyển p0 = 750 mm Hg. Nghệ thuật.? Với mỗi triblic, bao nhiêu thói quen có cùng độ cao sẽ đổ ra khỏi ống và tiêu tan hoàn toàn thành nguyên tử?
  5. Một lượng phân tử hydro nào đó có thể tích V1=1 m³ ở nhiệt độ T1=250 K và áp suất p1=2 atm. Cùng một khối lượng hydro sẽ có áp suất như thế nào ở T2=5000 K trong thể tích V2=10 m³, nếu ở nhiệt độ không đổi, phân tử nước hydro bị phân tán hoàn toàn thành các nguyên tử?
  6. Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử trước tiên được làm nóng, sau đó được làm lạnh sao cho chu trình kín 1-2-3-1 trên đồ thị p, V gồm các đường thẳng 1-2 và 3-1, song song với trục p và V tương ứng, và đường đẳng nhiệt 2-3. Tìm lượng nhiệtYPES.