Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

64

15. Решите неравенство
    $$\frac{\log_2(7x+8)}{\log_2(5)} - \frac{\log_2(x^2+5x)}{\log_2(5)} < 0;$$
    $$a^2 - 3a + 4 \log_2 \frac{1}{2} \leq 0.$$

16. Найдите область определения функции
    $$y = \frac{\sqrt{x+8}}{\log_0,3(x^2 + \frac{3}{2}x)}.$$

17. Постройте график функции
    $$a) y = (2-x^2)\frac{3x+5}{|3x+5|};$$
    $$\log_3(8-3x)$$
    $$b) y = \sqrt{(4-3x)^2} - 7.$$

18. Даны два круга, которые касаются внешним образом. Радиусы кругов — 3 и 6. Найдите расстояние от точки касания до общей внешней касательной.

19. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перpendикулярны. Найдите высоту трапеции, если ее основая равны 4 и 6.

20. Найдите высоту трапеции, если ее основанием служит прямогольник, одно из боковых ребер перpendикулярно плоскости основания, а длины других ребер равны 7, 8 и 4.

21. Основанием прямой признамы служит ромб. Диагонали признамы — 8 и 5, высота признамы равны 2. Найдите площадь поверхности.

22. Ребро куба равно 2. Через диагональ куба проведена плоскость, параллельная диагонали основания, не имеющей с диагонального куба общих точек. Найдите площадь полученного сечения.
    Публикацию подготовил Т. Ф. Кириченко

Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

Математika
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультеты физико-меchanической и радиофизической)
1: Решите уравнение
$$\frac{13}{14(6^x+2)} + \frac{31}{36(5 \cdot 6^{x-1}-1)} - \frac{32}{21(2 \cdot 6^x-3)} = 0.$$
2. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} 25x+9y^2 = -37, \\ 5(x+2)^{1/2}y = 2. \end{cases}$$
3. Решите уравнение
$$10 \sin^2 x + 3 \cos^2 x + 3 \sin 2x = 2.$$
4. Решите неравенство
$$63 + 8 \left(\log_1/3 \frac{x}{27}\right) \left(\log_1/3 (27x)\right) + 21 \log_3 x > 0.$$
5. В правильной шестиугольной парамиде заданы угол α между соседними боковыми грамими и объемом V шара, вписанного в парамиду. Найдите высоту парамиды.

Вариант 2
(факультеты технической киберnetики и экономики и управления производством)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 35 \log_4^2 x + 36 \log_3^2 y = 99, \\ 7 \log_{1/4} x - 6 \log_{1/3} y = 1. \end{cases}$$
2. Известно, что cos 2x = $\frac{4}{5}$. Докажите, что ctg² 3x является рациональным числом и найдите это число.
3. Решите неравенство
   $$|4x^2 + 35x + 38| > |12x^2 + 33x + 32|.$$
4. Решите уравнение
   $$\frac{27 - 36 \cos^2 2x}{36 \cos^2 2x + 4 \cos 6x - 27} - \frac{2}{9 \cos 2x - 6} = 0.$$
5. В правильной пятугольной парамиде задан двугранный угол φ при боковом ребре. Найдите плоский угол при вершине боковой грани.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Пуля ударяет со скоростью v=400 м/с в центр шара, подвешенного наниты длиной l=4 м, и пруго отскакивает от него. Определите косинус угла, на которой отклоняется нить, если масса пули m=20 г и масса шара M=5 кг.
2. Найдите ускорение цилиндра, скользывающего по желобу. Желоб имеет вид двухгранного угла, угол растора которого 2α, ребро наклонено к горизонту под углом β, а плоскости образуют с горизонтом одинаковые углы. Коэффициент треня между цилиндром и поверхностью желоба μ.
3. По оси X (в ее положительном направлении) движется некоторое тело с постоянной скоростью v=5 м/с. Потенциальная энергия тела меняется вдоль оси по закону W=(-10^-2x) Дж. Найдите мощность, развиваемую слиями сопротивления, превращающуюощими движению.
4. В запаянной с одной конца стеклянной трубке, длина которого l=70 см, находится стольник воздуха, запертый сверху стольником рутины высотой h=20 см, доходящим до верхнего края трубки. Трубку осторожно переворочают, причем часть рутины выливается. Какова высота стольника рутины, которая остается в трубке, если атмосферное давление p0=750 мм рт. ст.? При каждой триблике стольки рутины той же высоты выльется из трубки полностью диссцируют на атомы?
5. Некоторые масса молекулярного водорода занимает объем V1=1 м³ при температуре T1=250 К и давлении p1=2 атм. Какое давление будет иметь та же масса водорода при T2=5000 К в объеме V2=10 м³, если при столбьевкой температуре молекуля воды водорода полностью диссцируют на атомы?
6. Один моль одноатомного идеального газа сначала нагревается, затем охлаждаются так, что замкнутый цикл 1-2-3-1 на p, V-диаграмме состоит из отрезков прямых 1-2 и 3-1, параллельных осем p и V соответственно, и изотермы 2-3. Найдите количество теплотYPES.