Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

63

4. В остругольном треугольнике ABC проведены высоты CD и AE. Найдите длину высоты AE, если известно, что AD=BC=4, AB=6.

5. Вычислите объем правильной треугольной парамиды, зная, что плоский угол при вершине равен a, а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен r.

Вариант 5
(факультеты психологии и экономической)

1. Из пункта A в пункте B выехал грузовой авторомбель. Через 1 ч из пункта A в пункте B выехал легковой авторомбель, который прибил в пункте B одновременно с грузовым авторомбелем. Если бы грузовой и легковой авторомбили одновременно выехали из пунктов A и B настречу друг другу, то они бы встретились через 1 ч и 12 мин после выезда. Сколько времени проведел в пути от A до B грузовой авторомбель?

2.1. (отделение политэкономии)
Решите уравнение $x=1+\sqrt{7-x}$.

2.2. Решите уравнение
$$\sqrt{7x+1}-\sqrt{3x-18}=\sqrt{2x+7}.$$

3.1. (экономический факультет)
Решите неравенство
$$x^2\lg x \geq 10x.$$

3.2. (факультет психологии)
Rешите уравнение
$$2\sin x+2\cos x+1=\sin 2x+4(\sin^3 x+\cos^3 x).$$

4. Около прямогольного треугольника описана окружность. Найдите катеты этого треугольника, если известно, что расстояния от концов гипotenузы до прямой, касающейся окружности в вершине прямогольного треугольника, равны a и b.

5.1. (факультет психологии и отделение экономического кубернитки)
Центр сферы совпадает с центром основания кругового конуса, а ее радиус равен радиус основания конуса. Найдите радиус окружности, по которой сфера пересекает поверхность конуса, если известны высота конуса H и угол его освого секения a.

5.2. (отделение политэкономии)
Изображите на плоскости множество точек $M(x,y)$, для которых $2|x-y-2| \leq 3-x^2-y^2$.

Вариант 6
(отделение математической линейности физологии факультета)

1. От пристига A одновременно отправились вниз по течение катаер и плот. Катер спустился вниз по течение на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в A через 14 час. Найдите скорокатка в стояней в скорокатке течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от A.

2. Решите уравнение
   $$\log_{1+x}(2x^3+2x^2-3x+1)=3.$$

3. Найдите все решения неравенства
   $$\sqrt{\frac{1}{2}-\cos 2x}>\sin x-\cos x,$$ удовлетворяющие условия 0 \leq x \leq \pi.

4. Вне квадрата ABCD дана точка O. Найдите площадь квадрата, если известно, что OA=OB=5, DO=\sqrt{13}.

5. В правильной четырехугольной парамиде двугранный угол при основании равен a. Найдите двугранный угол при боковом ребре.
   Публикацию подготовил А. С. Меркурьев

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

Математика
Задачи устного экзамена
Matematический факультет

1. Вычислите без таблиц
   $$\sin 6^\circ-\sin 42^\circ-\sin 66^\circ+\sin 78^\circ.$$

2. Решите уравнение
   a) $(x^2+x+1)(2x^2+2x-3)=-3(1-x-x^2)$;
   b) $(\sin x-\cos x)(1+\tg^2x)=4\sin x(1-\tg^2x)$.

3. Решите неравенство:
   $$4\log_3(4x-5)-\log_3(x+1) \geq 0,25\log_327-2.$$

4. Найдите экстремумы функций
   $$f(x)=x-\cos 2x.$$

5. Докажите, что если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, делят угол треугольника на три равные части, то треугольник — прямой.

6. Докажите, что квадрат биссертрисы угла треугольника равен разности между произведением боковых сторон и произведением отрезков освонания.

7. На основаниих AB и CP вне трапеции ABCP построены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

8. Основание парамиды — прямой трапеция, у которой больше из боковых сторон равна 12, а меньший угол 30°. Все боковые грани парамиды одинаково наклонены к плоскости освонания. Площадь боковой поверхности равна 90. Найдите объем парамиды.

9. Ребро куба равно a. Найдите расстояние между диагональю куба и не пересекающей ее diагональю грани.

Физическая, индустриально-педагогическая, химическая факультеты

10. Укажите знак числа $\log_{0.3}\left(\frac{10}{7}(\log_2 5-1)\right)$.

11. Знача, что lg 64=k, найдите lg $\sqrt[3]{25}$.

12. При каких значениях a выполняется равенство
    $$\frac{a+5}{a-5}\sqrt{a^2-10a+25}=-5-a?$$

13. Докажите точность
    $$2(\sin^6x+\cos^6x)-3(\sin^4x+\cos^4x)+1=0.$$

14. Решите уравнение
    a) $|1-|x||-2|=1$;
    b) $\log_2\left(\frac{x^2}{8}\right)=8$.