Задачи М1096—М1100; Ф1108—Ф1112

27

Задачи

M1096 — М1100, Ф1108 — Ф1112

M1096. Диаметр $d$ окружности разбит на $k$ равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перепределения диаметру. Докажите, что сумма длины всех хорд не меньше 0,5 $kd$ и меньше 0,8 $kd$.

P. Харитонов, А. Чазиров (ученики 10 класса)

M1097. Координаты вершин равноведенного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат основания — четное число.

B. В. Произвольов

M1098. На окружности расставлены $n$ точки, заиммерованных подряд числа 1, 2, …, $n$. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорд, соединяющий две точки с номерами одной четверти. Любая хорда не должна иметь общих точек (далее концов) с проведенными ранее. Победает тот, кто делает последний ход. При каждой $n=4, 5, 6, ...$ выясните, кто из играков имеет выигрышную стратегию: начинаяющий или его партнер.

B. Г. Чеваов

M1099*. В отряде, ведущем подготовку к полету на Марс, 6783 космонавта, причем известно, что среди любых четырех из них можно выбрать троих, составляющих сложный экппалж для посадочного_modуля. Докажите, что можно выбрать 5 космонавтов, любые трое из которых составляют сложный экппалж.

H. Н. Силкин, М. В. Волков

M1100*. На берегу прямолинейной реки лежат брева (не пересекающие друг друга отрезки; рис. 1). Каждое брево составляет с линейной брегау угол меньше 45°. Докажите, что для любого расположения бреев обяза-тельно найдется брево, которое можно закатить в реку, не задавая остальных. (Поворачивать брево при качении не разрешается.)

B. Г. Ильцче

Ф1108. Для нагладной демонстрации воздействия лазерного излучения на вещество изготовлена мишень в виде маленького сербряного шарика, закрепленного в вершине легкого пистолетного конуса (рис. 2). Одна сторона шарика отполирована, а другая зачерена. Мишень установливают основанием конуса на шероховатую горизонтальную плоскость и на поверхности шарика-мишени фокусируют излучение от мощного импульсного лазера.

Оцените, при какой минимальной энергии светового импульса произойдет опрокидывание мишени. На какую из сторон шарика (отражающий или поглошащую) следует направить излучение?

Считайте, что масса шарика $m=3$ г и много больше массы конечной подставки; высота конуса $h=6$ см, диаметр основания $d=3$ мм; коэффициент отражения отполированной поверхности $r=0,99$, коэффициент поглошения зачеренной поверхности $a=0,99$; длительность лазерного импульса $\tau=10$ нс.

E. Н. Юносов, И. В. Яминский

28

Ф1109. С наклонной плоскости скатывают две бутылки: одна — пустая, другая — заполненная водой. Какая из них скатится быстрее? Какая из этих бутылок поднимается на большую высоту, если их пускить вверх по наклонной плоскости с одинаковыми начальными скоростями? Считать, что просkalъывания нет.

А. И. Буздин

Ф1110. Почему, когда при температуре около 0 °C ещё мороженое, пар изо рта начинает идти сливнее?

А. Ю. Алексеев

Ф1111. Равномерно заряженную полусферу разрезали на две части так, как показано на рисунке 3 (по линиям aa′), и эти части разнесли на большое расстояние. В какой точке направность электрического поля больше — в точке A′ или в точке A″ (см. рисунок)?

С. Ф. Ким, А. И. Латынин

Ф1112. В схеме, приведенной на рисунке 4, при разомкнутом ключе К конденсатор заряжен до некоторого напряжения U₀. Ключ замыкают, и через какое-то время ток в цепи прекращается. Какова должа быть величины U₀, чтобы направление на конденсатор установилось равным Uᵧ=1 В при изменившейся полярности пластин, если ЭДС каждой батареи в цепи δ=1,5 В? Диоды считать идеальными.

А. И. Киркинский

Problems

M1096 — M1100, P1108 — P1112

M1096. The diameter d of a circle is divided into k equal parts and a chord perpendicular to the diameter is drawn through each dividing point. Prove that the total length of all the chords is not less than 0.5kd and less than 0.8kd.

R. Kharitonov, A. Chagirov (10th form students)

M1097. The coordinates of the vertices of an isoceles triangle are integers. Prove that the square of the base is an even number.

V. V. Proizvolov

M1098. n points on the circle are numbered in order 1, 2, …, n. Two play the following game. Each player in turn draws a chord joining points of the same parity. Each chord has no common points and no common end points with any other. The player who makes the last move wins. For each n=4, 5, 6,… determine which player (the one making the first move or his opponent) has a winning strategy.

V. G. Chvanov

M1099*. A group of 6783 astronauts prepares for a flight to Mars. It is known that among any four of them three can be chosen, forming a compatible crew for the landing module. Prove that it is possible to chose 5 astronauts, any three of whom constitute a compatible crew.

N. N. Silkin, M. V. Volkov

M1100*. Logs (non intersecting segments) lie near the rectilinear shore of a river, each forming an angle of less than 45° with the shoreline. Prove that one of the logs may be rolled into the river.

30

щую следва звездочек (*) на знак сложения или умножения; при этом ни одна цифра не должна встречаться дважды. В конце церы вычисляется значение полученного выражения. Если это четное число, то выгрывает первый црок, нечетное — второй. Кто выгрывает при правильной црере?

**M1076. Биссектриса угла A остроугольного треугольника ABC пересекает сторону BC в точке L, а описанную окружность треугольника — в точке N (отличной от A); К и M — основания перпендикуляров, опущенных из L на стороны AB и AC. Доказите, что чет孵уольник AKNM равновелик треугольнику ABC.

M1077. Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n (n \ge 1)$ элементов, имеющихровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:

$$\begin{array}{l} a) \sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = \\ = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \dots \\ \dots + n \cdot p_n(n) = n! \\ 6) \sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!. \end{array}$$

других случайх). Поскольку у второго игрока к последнему ходу остается заведomo четная цифра, независимо от выбора операции окончательный результат будет четным.

С. А. Генкин

Площадь треугольника ABC равна $(AB \cdot AC \cdot \sin \alpha)/2$, где $\alpha = \angle BAC$, а площадь четырехугольника AKNM равна $AN \cdot KM/2$ (поскольку, очевидно, его диагонали AN и KM перепendlukлярны). Поэтому достаточно доказать, что $AB \cdot AC \cdot \sin \alpha = AN \cdot KM$.

Треугольники ACL и ANB подобны ($\angle CAL = \angle NAB$, так как AL — биссектриса, а $\angle ACL = \angle ANB$, так как эти углы опираются на одну и ту же дуг AB окружности ABC). Следовательно, $AB/AN = AL/AC$, т. е. $AB \cdot AC = AL \cdot AN$. Остается заметить, что $KM = AL \cdot \sin \alpha$ (KM — это хорда окружности с диаметром AL, на котором опирается вписанный в эту окружность угол KAM величины $\alpha$).

И. А. Кушинр

a) Заметим прежде всего, что

$$\sum_{k=0}^{n} p_n(k) = n!,$$

так как влевой части стоит суммарное число перестановок, имеющих 0, 1, …, $n$ неподвижных точек, т. е. просто число всех перестановок. Тепер доказем, что при $1 \leq k \leq n$

$$kp_n(k) = np_{n-1}(k-1),$$

считая, что $p_0(0) = 1$. Для этого подсчитаем двумя способами число $N$ пар $(f, i)$, где $f$ — произвольная перестановка $n$ элементов с $k$ неподвижными точками, а $i$ — любая из этих точек $(f(i)=i)$. С одной

31

Примечание. Перестановкой конечного множества $S$ называется взаимно однозначное отображение $f$ множества $S$ на себя; число всех перестановок множества из $n$ элементов равно $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Элемент $a$ множества $S$ называется неподвижной точкой перестановки $f$, если $f(a) = a$.

стороны, каждая из этих $p_n(k)$ перестановок входит в $k$ пар, поэтому $N = kp_n(k)$. С другой стороны, если $f(i) = i$, то на множестве из $n-1$ элементов, отличных от $i$, перестановка $f$ имеет $k-1$ неподвижных точек, следовательно, каждый из $n$ элементов $i$ входит в $p_{n-1}(k-1)$ пар, т. е. $N = np_{n-1}(k-1)$.

Суммируя равенства (2) по $k=1, \dots, n$ и учитывая (1) (с заменой $n$ на $n-1$), получим

$$\sum_{k=0}^{n} kp_n(k) = n \sum_{k=1}^{n} p_{n-1}(k-1) = n \cdot (n-1)! = n!.$$

6. Докажем сразу более общее точекство

$$s(n, m) = \sum_{k=m}^{n} \frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = n!$$

при всех $n \geq m$, $m=0, 1, 2, \dots$ (по определению, $0!=1$). При $m=0$ оно совпадает с (1), при $m=1$ — с утверждением a), а при $m=2$ эквивалентно 6), поскольку

$$\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = \sum_{k=0}^{n} k(k-1)p_n(k) - \sum_{k=0}^{n} kp_n(k) + \sum_{k=0}^{n} p_n(k) = s(n, 2) - s(n, 1) + s(n, 0).$$

Из точекства (2) следует, что при $1 \leq m \leq k \leq n$

$$\frac{k!}{(k-m)!} p_n(k) = k(k-1) \dots (k-m+1)p_n(k) = n(k-1) \dots (k-m+1)p_{n-1}(k-1) = n(n-1)(k-2) \dots (k-m+1)p_{n-2}(k-2) = \dots = n(n-1) \dots (n-m+1)p_{n-m}(k-m) = \frac{n!}{(n-m)!} p_{n-m}(k-m).$$

Суммируем эти равенства по $k=1, 2, \dots n$:

$$s(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} s(n-m, 0) = n!.$$

Другое доказательство (3) можно получить из почты очевидного соответствия $p_n(k) = C_n^k p_{n-k}(0)$, где $C_n^k = n!/(k!(n-k)!)$ — число $k$-элементов подмножества множества из $n$ элементов (число сочетаний).

Наш читатель Л. М. Коганов (Москва) сообщил еще об одном обобщении этой задачи, принадлежащем американскому математике Дж. Голдману: если $S(q, i)$ — это число разбиений множества $\{1, 2, \dots, q\}$ на $i$ непустых непересекающихся множества, то

$$\sum_{k=0}^{n} k^q p_n(k) = n! \sum_{i=1}^{m} S(q, i),$$

где $m=\min(n, q)$. Доказательство этого соответствия, предложенное Л. М. Когановым, написано вывод формулы (2) и совпается к подсчету двумя способами kolicheства пар $(f, \varphi)$, где $f$ — произвольная перестановка множества из $n$ элементов, а $\varphi$ — произвольное отображение множества $\{1, 2, \dots, q\}$ в множестве неподвижных точек перестановки $f$.

В. Н. Дубровский

32

М1078. Функция $f$ определяла на множество $N_0$ всех неотрицательных целых чисел и принимает значение в этом множество. Доказите, что равенство $f(f(n))=n+1987$ не может выполнять для всех $n \in N_0$.

Допустим, что утверждение задачи неверно и функция $f$, удовлетворяющая $f(f(n))=n+1987$ при $n \in N_0$, существует. Тогда
$$f(n+1987)=f(f(f(n)))=f(n)+1987,$$
и, следовательно,
$$f(n+1987k)=f(n)+1987k$$
()
при всех $n, k \in N_0$. Расмотрим теперь произвольное целое $r$, $0 \leq r \leq 1986$, и поделим число $f(r)$ на 1987 с остатком:
$$f(r)=1987p+q, 0 \leq q \leq 1986.$$
По условиям $f(f(r))=r+1987$, и в силу () $f(f(r))=f(q)+1987p$. Поскольку $r \leq 1986$, возможно только два случая:

1. $p=0$, т. е. $f(r)=q$, а $f(q)=r+1987$;
2. $p=1$, т. е. $f(r)=q+1987$, а $f(q)=f(f(r))-1987=r$.
   В обих случаях, очевидно, $f(r) \neq f(q)$, а значит, $r \neq q$. Таким образом, множество $0, 1, ..., 1986$ можно разбит на пары $(a, b)$ так, что в каждой паре $f(a)=b, f(b)=a+1987$. Но в этом множество нечетное число элементов. Полученное противоречие показывает, что функции с требуемыми свойствами не существует.

В. В. Вавилов

М1079. Пусть $n$ — натуральное число, $n \geq 3$. Можно ли расположить на плоскости $n$ точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражальными иранциональными числом, а площадь треугольника с вершинами в любых трех —ранционными числом (отличным от нуля).

Graph

М1080. Пусть $q$ — натуральное число, $q \geq 2$. Доказите, что если $k^2+k+1$

Ответ: можно; искомыми точками являются, например, точки $P_i(i; i^2)$, $i=1, 2, ..., n$, т. е. точки на параболе $y=x^2$ с натуральными абсциссами.

В самом деле,
$$P_iP_j=\sqrt{(j-i)^2+(j^2-i^2)^2}=|j-i|\sqrt{1+(j+i)^2}.$$
No число вида $1+m^2$ (у нас $m=j+i$) не может быть квадратом рационального числа $r$, потому что в таком случае $r$ было бы натуральным и из равенства $r^2=1+m^2$ получалось бы противоречное неравенство:
$$1=r^2-m^2=(r-m)(r+m) \geq r+m>1.$$
Таким образом, все расстояния $P_iP_j$ irrationalны.

В то же время площадь треугольника $P_iP_jP_k$ при $i<j<k$, как видно из рисунка, равна
$$\frac{1}{2}((k-i)(k^2-i^2)-(k-j)(k^2-i^2)-(k-i)(j^2-i^2)),$$
т. е. рациональная.

Вообщее, площадь любого треугольника, вершины которого имеют целые координаты, рациональная. Это показывает, что условия задачи целочисленной решетки, заботясь лишь о том, чтобы расстояние между ними были irrationalны.

В. В. Вавилов

Достаточно доказать, что если среди чисел от 0 до $q-2$ есть такое $k$, что $f(k)=k^2+k+q$ — составное, то такое число есть и в промежутке от 0 до $\sqrt{q/3}$.

33

+q — простое число для всех целых k, где 0 ≤ k ≤ √q/3, то k² + k + q — простое для всех целых k, где 0 ≤ k ≤ q - 2.

Пусть y — наименьшее целое неотрицательное число, такое что f(y) — составное. Обозначим через p наименьший простой делитель f(y), тогда f(y) ≥ p². Ниже мы докажем, что если y ≤ q - 2, то p ≥ 2y + 1, ввиду чего

$$y^2 + y + q \geq (2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1,$$

и, следовательно, y² < q/3, т. е. y < √q/3.

Итак, остается доказать, что p ≥ 2y + 1 при y ≤ q - 2.

Предположим противное: p ≤ 2y и рассмотрим разность

$$f(y) - f(x) = (y - x)(y + x + 1).$$

Когда x изменяется от 0 до y - 1, выражение y - x принимает значения y, y - 1, …, 1, а y + x + 1 — значения y + 1, y + 2, …, 2y. Следовательно, при некотором x, 0 ≤ x ≤ y - 1, число f(y) - f(x) делится на p. Но в силу выбора y и p число f(y) делится на p, а f(x) — простое, поэтому f(x) должно быть равно p. В то же время y - x < y + x + 1 ≤ q + x - 1 < q + x + x² = f(x),

позному p = f(x) не может делить (y - x)(y + x + 1). Противоречие.

Заметим, что результат задачи применим к значению трехчлену Эйлера f(x) = x² + x + 41: легко проверить, что f(x) простое для x = 0, 1, 2, 3, а отсюда (поскольку √41/3 < 4) следует, что f(x) — простое для всех 40 целых x от 0 до 39.

В. Ф. Лев

Ф1088. Невесомая листница закреплена во врачающем со скоростью f = 10 об/min неевесом подвесе так, что может свободно качаться относительно верхней ступенки (рис. 1). Обезьяна массой m = 30 кг начинает спускаться по листнице. На каком расстоянии l от подвеса она будет находиться, когда вертикальное положение листницы перестанет быть устойчивым?

Пусть листница отклонилась от вертикали на малый угол a. В этот момент движение обезьяны будем рассматривать как движение по окружности радиусом ~lα (рис. 2). Центрстремительное ускорение обезьяны —

$$a = (2\pi f)^2 l\alpha.$$

Это ускорение ей может сообщить слара реакции T со стороны листницы — это единственная сила, которая имеет проекцию F на горизонтальную плоскость. Если F > ma, то обезьяна (с листицей) будет возвраться к вертикалью — вертикальное положение листницы будет устойчивым.

Из рассмотренная丝 (рис. 2) ясно, что F = mga. Из условия

$$mg\alpha > m(2\pi f)^2 l\alpha$$

находим:

$$l < g/(2\pi f)^2 = 10 \text{ m}.$$

При l больше 10 м равновесие неустойчивое.

А. В. Андрианов

34

Ф1089. При перелете со станции «Мир» на станцию «Салют-7», которые находились на одной орбите, наши космонавты затормозили свой корабль, перешли на более низкую орбиту и за время t=30 часов назад «Салют-7», который летел вперед «Мира» на расстоянии L=3000 км. Считая орбиты круповыми, определять, на сколько километров проектуная орбита ниже основной. Высота обеих орбит mnoго меньше радиуса земли R₃=6400 км.

Запишем разность угловых скоростей корабля на промежуточной орбите и станции:

$$\omega_1 R_1 t - \omega_2 R_2 t = (\omega_1 R_1 - \omega_2 R_2) t = R_3 t (\omega_1 - \omega_2) \approx L \Rightarrow (\omega_1 - \omega_2) = L/R_3 t$$

(мы учили, что высоты орбит мы по сравнению с радиусом земли, т. е. $R_1 \approx R_2 \approx R_3$). В то же время, учитьвая, что $\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} = \sqrt{\frac{g R_3^2}{R^3}}$ (M — масса земли), можно записать:

$$\omega_1 - \omega_2 = \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{R_1^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) =$$

$$= \sqrt{g R_3^2} \left( \sqrt{\frac{1}{(R_2 - \Delta R)^3}} - \sqrt{\frac{1}{R_2^3}} \right) \approx$$

$$\approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \left( \sqrt{\frac{1}{(1 - \Delta R/R_3)^3}} - 1 \right) \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{1/(1 - \Delta R/R_3)^3 - 1}{\sqrt{1/(1 - \Delta R/R_3)^3} + 1} \approx \sqrt{\frac{g}{R_3}} \frac{3 \Delta R/R_3}{2}$$

(2)

Приравняв выражения (1) и (2), найдем $\Delta R$:

$$\Delta R = \frac{2 L}{3 t} \sqrt{\frac{R_3}{g}} \approx 15 \text{ км.}$$

М. В. Семенов

Ф1090. Ясно морозной почью посмотрите на небо. Какие звезды мерцают более заметно: находящая высоко над горизонтом или низко, и почему?

Мерцание звезд обусловлено турбулентными потоками воздуха в земной атмосфере, которые возникают из-за неравномерного протрева атмосферы. В основном это восходящие потоки, возникшие из-за разности температуры земной поверхности и прилегающих к ней слоев воздуха. Эти потоки приводят к тому, что плотность atmosферы в данной месте непрерывно меняется. Соответственно, меняется показатель преломления, и поэтому идуще от звезд лучи света преломляются то в одном, то в другом направлении — звезды мерцают. Этот эффект особенно заметен в близки земли; поэтому «низкие» звезды, лучи которых по пути к наблюдаемой проходят больший путь в близки земли, чем лучи «высоких» звезды, мерцают заметнее.

А. С. Бутов

Ф1091. Подвешенный на нераstraжимой нити длиной l шарик с массой m и загядом q находится в центре обруча, по которым равномерно распределен заряд Q (рис. 1). Радиус обруча R; заряды q и Q однозначные. Определить

Пусть шарик сместился на малое расстояние $\Delta x$ ($\Delta x \ll R$) от центра обруча (смещение по вертикали при этом пропорционально $\Delta x^2$, и мы им пренебрежем, считая, что движение пропорционать в плоскости обруча). Посмотрим, какая сила $F_3$ действует на заряд q шарика со стороны заряда обруча Q. Из сообщений симметрии (см. рис. 2) понятно, что направенно поля, создаваемого зарядом Q в точке A, направлена вдоль радиуса обруча. Так же направлена и сила $F_3$.

35

Чтобы найти $F_3$, посчитаем силу $f_3$, действующего на заряд $q$ со стороны малого элемента обруча, находящейся на расстоянии $r$ от заряда $q$ (см. рис. 2). Заряд этого элемента —

$$\Delta Q = \frac{Q}{2\pi R} R \cdot \Delta \gamma = \frac{Q}{2\pi} \Delta \gamma \approx \frac{Q}{2\pi} \Delta \varphi$$

(φ≈γ, поскольку Δx≈R). Выразим $r$ через $R$ и Δx (восползовавшись теорем косинусов):

$$r^2 = R + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \gamma \approx R^2 + (\Delta x)^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi \approx R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi.$$

Таким образом,

$$f_3 = -k \frac{\Delta Q \cdot q}{r^2} \approx -k \frac{Qq}{2\pi} \frac{1}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} \Delta \varphi.$$

Полная сила $F_3$ равна $\int_0^{2\pi} f_3 \cos \varphi d\varphi$, т. е.

$$F_3 = -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \int_0^{2\pi} \frac{\cos \varphi}{R^2 - 2R \cdot \Delta x \cdot \cos \varphi} d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 - \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right)^{-1} \cos \varphi d\varphi \approx -k \frac{Qq}{2\pi R^2} \left(1 + \frac{2\Delta x}{R} \cos \varphi\right) \cos \varphi d\varphi = -k \frac{2Qq \cdot \Delta x}{2\pi R^3} \cos^2 \varphi d\varphi = -k \frac{Qq \cdot \Delta x \cdot \pi}{2\pi R^3} = -k \frac{Qq}{R^3} \Delta x.$$

Тепер запишем уравнение движения шарика:

$$m(\Delta x)'' = -\left(m g \sin \alpha + k \frac{Qq \cdot \Delta x}{R^3}\right),$$

где α — угол отклонения ниги маятника от вертикали. Поскольку нас интересют малые колебания, sin α≈Δx/l, и

$$m(\Delta x)'' = -\Delta x \left(m \frac{g}{l} + k \frac{Qq}{R^3}\right).$$

Это — уравнение гармоничских колебаний с частотой

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} + k \frac{Qq}{R^3 m}.$$

Г. В. Грицорье