Неравенства и графики

54

Неравенства и графики

Кандидат физико-математических наук
В. А. ПЕТРОВ

Практические в каждом узле на письменном экзамене по математике требуется решить неравенство. Это задание передко лидирует по количеству неправильных ответов. Ошибки возникют из-за нечетного или неполного использования свойств соответствующих функций.

Универсальной «шпагалкой», по которой можно прочитать все свойства функций, является ее график. Поэтому при решении более или менее сложных неравенств полезно прибегать к последовательному использованию графиков элематриных функций. Такой прием позволяет автоматически, без напряжения памяти, переодить к равносильным неравенствам; при этом сама собой учитывает (ее учесть чаще всего забывают) область допустимых значений. Кроме того, геометрическая иллюстрация, как всегда, способствует более сознаательному пониманию существа применяемых преобразований. Расмотрим конкретиные примеры.

Пример 1. Решить неравенство
$$2^{\sqrt{\log \frac{\sqrt{3}}{3} tg x}-1}<1.$$ (1)

Решение. Обозначим показатель степени через $t$. Тогда неравенство (1) принимает вид
$$2^t<1.$$ (1')

Изображим график функции $y=2^t$ (рис. 1). Отметим на оси $Oy$ интересune нас значения. Они заполняют луч (— $\infty$; 1). Спроектируем этот луч на график, а выделившуюся после этого часть графика спроектируем на ось $Ot$. Тем самым мы нашли решение вспомогательного неравенства (1’): $t>0$. Поэтому неравенство (1) равносильно неравенству
$$\sqrt{\log \frac{\sqrt{3}}{3} tg x}<1.$$ (2)