Основной принцип дифференциального исчисления

48

Основной принцип дифференциального исчисления

Часть II:
Свойства произвольной

Член корреспондент АН СССР
Д. К. ФАДДЕЕВ,
кандидат физико-математических наук
М. С. НИКУЛИН,
И. Ф. СОКОЛОВСКИЙ

В нашей предыдущей статье (см. «Квант» № 3) мы расссказали об основном принципе дифференциального исчисления. (Коротко он состоит в том, что график хорошего функции на достаточно малом промежутке почти не отличается от графика линейной функции.) Затем мы подробно изучили свойства линейной функции. В частности, мы определили мгновенную скорость изменения линейной функции как $k = \Delta y / \Delta x$, т. е. прияли ее равной средней скорости на любом промежутке.

В обшем же случае (т. е. для произвольной функции) такое определение непригодно: средняя скорость для разных промежутков может быть не одинаковой. В обшем считания мы сталиваемся с противоречением, субъектого в том, что мы пытаемся говорить о «мгновенном значении» величины, которая по своему физическому смыслу может рассматривать только как функция от промежутка. Корректное определение понятый введем мгновенной скорости изменения существования использует формальный математический аппарат предельного перехода.

Заметим, однако, что обоснование элементов анализа на основе теории пределов было осуществлено O. Коши только в начале XIX столетия, т. е. спустя более двух тысяч лет после появления некоторых идеей, лежащих в основе дифференциального исчисления, и через 200 лет после его создания Ньютоном и Лейбницем. Математический анализ, включая

49

Циний в себя дифференциальное и интегральное исчисления, был ведущей и высоко развитой ветвью математики к тому моменту, когда было дано его обоснование.

Применение «основного принципа» и привлечение линейной функции позволяет нам дать наглядное, интуитивное ясное определение понятия «мгновеной скорости» в общем случае, минуту теории пределов.

Здесь мы и подошли к вопросу о том, почему линейная функция занимает особое место в математике.

Дело в том, во-первых, что все, что касается линейной функции, как вспекте проблем исследования функции, так и в плане геометрического и физического источника результатов, очень просто и наглядно. Именно эти простота и наглядность отвечли линейной функции особую роль в математике при изучении свойств тех функций, которые наиболее часто встречаются в приложениях.

Второе и самое существенное обстоятельство было отмечено в первой части статьи: ко всем элементарным функциям и к большимству функции, к которым мы приходим при изучении зависимости между реализыми величиными, применим «основной принцип» дифференциального исчисления.

Иначе говоря, при решении определенного кругга задач каждой из этих функций выполненной точки можно заменить линейной, график которого есть касательная к графику рассматриваемой функции в выбранной точке. Поскольку важнейшие свойства линейной функции определяются ее угловым коэффициентом, то по угловому коэффициенту касательной, т. е. по значению произвольной от функций в данной точке, можно судить о поведении самой функции выполненной точки.

Мы не будем здесь останавливаться на технические вычисления произвольной (считая, что читатель в какой-то мереей владеет). Заметим лишь, что (как показано в статье «О касательной к графику функции», см. «Квант», 1986, № 3) для некоторых функций значения произвольной можно получить, исходя из по существу элементарных сообщений.

Геометрическое и физическое источование произвольной $f'(x_0)$ от функций $f(x)$ в данной точке $x_0$

В соответствии с «основным принципом» считаем функцию $f(x)$ выполнiza точки $x_0$ линейной, а малый кусочек графика совпадающим с отрезком касательной в точке $x_0$. Тогда $f'(x_0)$ показывает, насколько кругло наklonen (и в какую сторону) маленький кусочек графика функции $f(x)$, содержащий точку $f(x_0)$. В этом состоянии геометрический смысл произвольной.

Например, по таблице

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 0,5 | 2 | 3 | 1,5 |
| $f'(x)$ | 1 | 2 | 0 | -2 |

мы можем построить не только сами точки графика, но и маленькие кусочки графика, содержащие табличные точки (рис. 1).

Мы знаем, что в тех случаях, когда прямая есть график зависимости между двумя физическими величинами, угловой коэффициент прямой имеет ясный физический смысл. Этот же физический смысл имеет и произвольная от функций (не линейной), если эта функция описывает зависимость между теми же величинами. Но только численное значение $f'(x_0)$ произвольной от функции $f(x)$ в точке $x_0$ уже нельзя отвести ко всем функциям в целом, а лишь к малой окрестности точки $x_0$. Например, если функция $T=f(t)$ описывает зависимость между температурой тела и временем его нагрева (рис. 2), то $f'(t_0)$ есть скорость изменения температуры (скорость нагрева) на малом интервале времени, содержащем точку $t_0$. Последнее утверждение

50

Рис. 2.

нице тем более точное, чем меньше интеграл, содержащий точку $t_0$. Поэтому $f'(t_0)$ называют скоростью нагрева в момент времени $t_0$. Отвлекая от конкретиного физического содержания, мы говорим, что $f'(x_0)$ есть скорость изменения функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Приближенные вычисления

Теорема. Абсолютная погрешность в вычислении значения функции примерно равна абсолютной погрешности измерения аргумента, умноженной на модель значения производной в соответствии точке.

Доказательство. Действительно, пусты $x_0$ — приближение значения аргумента и $x$ — неизвестное точное значение аргумента, заведено близкое к $x_0$. Величину $\Lambda x=x-x_0$ абсолютной погрешности примем за малое аргумента. Считая (в соответствии с «основным принципом») функцию $y(x)$ величия точки $x_0$ линейной с угловым коэффициентом $y'(x_0)$, получим в силу характерастического свойства линейной функции (доказанного в первой части статьи) $\Lambda y=y'(x_0)\cdot \Delta x$, что и требовалось доказать.

Следует понимать, что высказанное утверждение справедливо в предположении, что абсолютная погрешность аргумента действительно достично мала для данной функции.

Если известно значение функции $f(x)$ в точке $x_0$ и требуется вычислить значение $f(x)$ величия точки $x_0$, то, исходя из «основного принципа», можно заменить трудомкие вычисления функции приближенными вычислениями по уравнению касательной в точке $x_0$. Именно,

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$$

Приближение приращение функции, вычисленное «по касательной», т. е.

$$f'(x_0)(x-x_0),$$

называется дифференциальом функции и обозначает символьом df. Приращение аргумента $x-x_0$ называют дифференциальом нерависимой переменной и обозначает dx. Таким образом,

$$df=f'(x_0)dx.$$

В терминах дифференциальов «основной принцип» следует понимать так, что истинное приращение «хорошей» функции на малом интервале от приращения, вычисленного «по касательной», на величины, преобразимо малую по сравнению с df. Здесь необходимо отмечать одно важное свойство дифференциальа: разность $\Delta f$-df между истинным приращением функции и ее дифференциальом не просто намного меньше, чем df, — при уменьшении dx эта разность убивает существование быстрее, чем dx. Точный смысл термина «существенно быстрее» и соответствующое доказательство возможно только после надлежащего более строго описания исходных понятий анализа.

Мы ограничимся разъяснением смысла терминов «одинаково быстро» и «существенно быстро» на конкретных примерах. Величины, связанные примой пропорциональной зависимости, изменяются одинаково быстро, именно, изменение одной в $n$ раз приводит к изменению другой тоже в $n$ раз. Величины, связанные, например, квадратичной зависимости, изменяются с разными скорностями. Действительно, если $y=x^2$, то при уменьшении $|x|$ в 10 раз $y$ уменьшается в 100 раз, при уменьшении $|x|$ в 100 раз $y$ уменьшается в 10000 раз и т. д. Вообществе, если $y=x^a$, где $a>1$, то при стремлении $|x|$ к нулю $y$ убивает существование быстрее, чем $|x|$. Это подтверждается тем, что отношение $y/x=x^{a-1}$ приближается к нулю при стремлении $x$ к нулю. То же можно сказать о разности $\Lambda f-df$ — относение $(\Lambda f-df)/dx$ стремится к нулю при стремлении $dx$ к нулю.

Два свойства дифференциаль — 1) дифференциаль функции пропорцион-

51

Рис. 3.

нален дифференциальную аргумента и 2) разность между истинным приращением функций и ее дифференциальным убывает существенно быстрее, чем дифференциальная аргумента, — вполне характеризуют дифференциальная функция и определяют его наиболее элементарные, но важнейшие приложения в физике, технически и т. д. Дело в том, что дифференциаль (в отличие от произвольной) часто бывают виден «на глаз» и может быть найден проще, чем произвольная. После этого произвольная может быть вычислена как отношение дифференциальов: $df = f'(x_0)dx$,

$$f'(x_0) = \frac{df}{dx}.$$

Пример 1. Вычислить $f'(0) = f'(x)|_{x=0}$, если $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$.

Решение. Вблизи $x=0$ дифференциальная аргумента равен самому аргументу $(dx=x)$, а приращение функции — значению функции. Часть приращения функции, пропорциональная $dx$, есть слагаемое $4x$, а остальные слагаемые, содержащие $x$, убывают величие существенно быстрее, чем $x$. Так что в точке $x=0$ имеем $df=4dx$, а значит, $f'(x)=4$.

Оба свойства дифференциального иллюстрируются графическими рис. 3). На этом рисунке значение $dx$ выбрано довольно большим, одноко «на глаз» видно, что при уменьшении $dx$ разность $\Delta f - df$ убывает существенно быстрее, чем $\Delta x$.

Дифференцирование сложной функции

Исходя из «основного принципа» легко получить выражение для произвольной и дифференциальная сложной функции.

Пусть $F(x) = f(g(x))$. Считаем функцию $g(x)$ линейной «в малом» величине точки $x$, а функцию $f(t)$ — линейной величине точки $t = g(x)$. Тогда в силу теоремы о композиции линейных функций, доказанной в первой части нашей статьи, $F(x)$ — линейная величина $x$ и ее угловой коэффициент равен произведению угловых коэффициентов функции $g$ и $f$, т. е.

$$F'(x) = k_1 \cdot k_2, \quad \text{где } k_1 = f'(t)|_{t=g(x)} \quad \text{и } k_2 = g'(x).$$

Для дифференциальала сложной функции получаем выражение

$$dF(x) = k_1 \cdot k_2 \cdot dx = \frac{f'(t)|_{t=g(x)}}{\cdot g'(x)}dx.$$

Поскольку $g'(x)dx = dg(x)$, получаем

$$dF(x) = f'(t)|_{t=g(x)} \cdot dg(x).$$

Это важное равенство говорит, что форма записи дифференциальала не зависит от того, что находится под знаком функций — независимая переменная или функция от другой переменной. Это свойство дифференциальала называют инвариантностью. Свойство инвариантности дифференциальала помогает легче освободить технически дифференцирования сложных функций.

Пример 2. Найти произвольную от $F(x) = \sqrt{\sin(3x-1)}$, зная, что $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x u (3x-1)' = 3$.

Решение:

$$dF(x) = (\sqrt{t})'|_{t=\sin(3x-1)} \cdot d\sin(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}(\sin t)'|_{t=3x-1}d(3x-1) = \frac{1}{2\sqrt{\sin(3x-1)}} \cos(3x-1)3dx = \frac{3\cos(3x-1)}{2\sqrt{\sin(3x-1)}}dx.$$

Раскрытие неопределенности типа 0/0

Часто приходится изучать поведение дроби величины точки, в котором числитель и знаменатель обращаются в нуль. Непосредственные вычисления с помощью даже высокоточных ЭВМ могут быть в этих случаях грубую ошибку из-за уничтожения значих

52

Рис. 4.

$$f(x)/g(x)$$ при значениях $x$, приближающихся к $x_0$, если в этой точке исслитель и заменатель обращаются в нуль. Считаем $f(x)$ и $g(x)$ линейными величинами точки $x_0$, мальые кусочки их графиков заменяем касательными к графикам этих функций в точке $x_0$. Таким образом, считаем, что
$$f(x)=f'(x_0)(x-x_0), \quad g(x)=g'(x_0)(x-x_0).$$
Тогда, если $g'(x_0) \neq 0$, то
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)(x-x_0)}{g'(x_0)(x-x_0)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}.$$
Надо помнить, что фактически это равенство приближению, но тем более точное, чем близке к $x_0$. Мы получили правило, известное в математике как правило Лопитала для раскрытия неопределенности типа 0/0.

На языке пределов это правило читается так: предел отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ при $x \rightarrow x_0$, если $f(x_0)=0$ и $g(x_0)=0$, равен отношению произвольных $f'(x_0)$ и $g'(x_0)$:
$$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} \quad (g'(x_0) \neq 0).$$

Пример 3. Составить таблицу значений функций
$$f(x)=\frac{2x^2-x-\sin x/2}{\sqrt{x}-\cos(1-x)}$$
близи точки $x=1$.

Решение. Результаты вычислений на МК В3-34 показаны в таблице 1. Применим правило Лопитания
$$\left(2x^2-x-\sin \frac{\pi}{2}x\right)' \bigg|_{x=1}= = \left(4x-1-\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{2}x\right) \bigg|_{x=1}=4-1=3, (\sqrt{x}-\cos(1-x))' \bigg|_{x=1}=$$

Численное решение дифференциальных уравнений

Во многих случаях удается получить зависимость между величины, содержащую их произвольные, т. е. в виде дифференциального уравнения. Далеко не всегда уравнение удается разрешить, т. е. найти функцию, являющейся решением данного дифферен-

Таблица 1

| $0 x$ | 1,1 | 1,01 | 1,001 | 1,0001 | 1,00001 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $f(x)$ | 6,1762693 | 6,0196529 | 6,0039984 | 6,012024 | 6,1224489 | 7,5 |

52

53

Рис. 6.

цяльного уравнения. Оdnako исходя из «основного принципа», можно получить приближенное (численное) решение дифференциального уравнения.

Пример 4. Восстановить на интервале [0; 1] функцию по дифференциальному уравнению: $y'(t)=5t$ и наальному условию $y(0)=0$.

Решение. Составим таблицу значений произвольной:

Таблица 2

| $t$ | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $y'(t)$ | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 |

Вудем считать, что вблизи табличных точек (согласно «основному принципу») график функции тесно прилегает к отрезкам касательных. Разобъем интервал [0; 1] на части [0; 0,05]; [0,05; 0,15]; [0,15; 0,25], и т. д. до [0,95; 1]. Вершины ломаной, заменяющей функцию, расположим в точках деления: 0; 0,05; 0,15; 0,25; …; 0,95; 1.

Взяв угловые коэффициенты звеневом ломаной из таблицы, получим график (рис. 5). На этом рисунке построена только часть графика. Постройте самостояльное весь график и убедитесь, что он хорошо совпадает с точным решением $y=2,5t^2$.

Определение дляны участка кривой, являющейся графиком функции $y=f(x)$, на интервале [a; b]

На рисунке 6 показан график функции $y=f(x)$. Надо найти длину части графика на интервале [a; b]. Расмотрим функцию $l(x)$, значение которого равны длине участка графика от точки $x=a$ до некоторого $x$, $x\in[a; b]$.

Найдем дифференциальную функцию $l(x)$ в точке $x$. Считая функцию $f(x)$ «в малом» линейной, получим

$$dl=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$$

$$=\sqrt{1+(f'(x))^2}dx,$$

откуда

$$l'(x)=\frac{dl}{dx}=\sqrt{1+(f'(x))^2}.$$

Очевидно, что $l(a)=0$. Мы пришли к известной задаче о восстановлении функции по ее произвольной (дифференциальную) и наальному условия. В терминах интегрального исчисления нам необходимо вычислить

$$\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}dx.$$

Заметим, что именно при решении задачи на вычисление длины кривой, даже в простых с виду случая, мы приходим к неберущим интерралам, т. е. к интеграlam, не выражаются через элементарные функции. Например, при вычислении длины части синусиды, получаем уравнение $l'(x)=\sqrt{1+\cos^2x}$ или интеграл

$$\int_a^b \sqrt{1+\cos^2x}dx.$$

Аналогично при вычислении длины участка гиперболы $y=1/x$ получим уравнение $l'(x)=\sqrt{1+1/x^4}$ и интеграл

$$\int_a^b \sqrt{1+1/x^4}dx.$$

Уражение. Постройте численное решение двух последних дифференциальных уравнений методом, описанным в статье. Найдите длину участка синусиды на интервале [0; π/2] и длину участка гиперболы на интервале [1; 2].

В заключение заметим, что описанные идеи более подробно развиты в книге «Элементы вычислений математики для школьников» авторов настоящего статьи (М.: «Наука», 1987). В этой книге дано достаточно строое обоснование «основного принципа» и более строие доказательства теорем на основе понятия бесконечного малой величины.