Поверхностное натяжение и капиллярные явления

56

Поверхностное натяжение и капиллярные явления

Кандидат физико-математических наук
А. И. БУЗДИН,
кандидат физико-математических наук
С. С. КРОТОВ

Вступительные экзамены вузы по физике в прошлом году проводились по новой программе, в котором включен ряд вопросов, отсутствующих ранее. Так, появился новая тема «Свойства поверхности жидкости. Поверхностное натяжение. Смачивание. Капиллярные явления» (мы привели дословную формулировку), которая дает возможность экзаменционной комиссии предложить задачи и по этому кругу вопросов.

Поскольку такого типа в пособиях для подготовки вузы последних лет практических отсутствует, а тема содержит большое число тонкостей, при написании этой статьи мы стремились упредить возможность неожиданные экзаменционные ситуации. Отчасти поэтому мы уделем больше внимание обсуждению отдельных теоретических вопросов, а не занимаемся только решением стандартных задач.

Поверхностное натяжение

Для начала стоит сказать несколько слов о спецификации сил поверхностного натяжения, действующих на границе жидкости и ее пара.

Как известно, молекулия жидкости находится так близко друг к другу, что взаимодействие между ними не учитывается. Поэтому при оценке внутренней энергии системы жидкость — пар существенно роль играет не только кинетическая энергия

57

движения молекул, но и потенциальная энергия их взаимодействия.

Характерный радиус взаимодействия молекул жидкости приблизительно равен среднему расстоянию между ними, так что каждая молекula фактически взаимодействует лишь с близкойшими соседями. Молекуры вблизи свободной поверхности жидкости находятся в особом положении по сравнению с объемными молекулами, поскольку они взаимодействуют с молекулами как жидкости, так и ее пара (а это взаимодействие существенно слабее). Можно сказать, что на молекули приповерхностного слоя приходится иная доля потенциальной энергии системы, чем на объемные молекулы.

Понятно, что при возникновых изменениях формы жидкости при заданном объеме и фиксированной температуре внутренняя энергия, отвечающая объемным молекулам, не меняется, а вклад поверхностной энергии будет тем больше, чем больше будет площадь свободной поверхности жидкости.

Коэффициент поверхности жидкости $\sigma$ называют относительной работе $\Delta A$, которое необходимо совершить, чтобы увеличить площадь поверхности жидкости на величины $\Delta S$, к величины $\Delta S$, т. е.

$$\sigma = \frac{\Delta A}{\Delta S},$$

или можно сказать, что коэффициент поверхности жидкости прихождения на единицу площади поверхности.

Объектами, в поведении которых наиболее ярко проявляется роль поверхности жидкости, является мыльные пленки.

Рассмотрим следующую ситуацию. На мыльной пленке плавает петля из нити длиной $l$ (рис. 1, а). Часть пленки, находящаяся внутри нити, осторожно прокалывают. Какую фигуру образует при этом нить? Каково натяжение нити в положении равновесия, если коэффициент поверхности жидкого натяжения мыльного расстояния $\sigma$?

Очевидно, что после прокалывания оставшаяся пленка будет вести себя так, чтобы максимальное уменшить величины своего поверхности. Это приведет к тому, что при заданной длине нити ($l$) дырка образует фигуру максимальной площади. Как известно, такой фигурой будет круг (рис. 1, б). Радиус кругга найдет из соответствия

$$2\pi r = l, \quad t. e. \quad r = \frac{l}{2\pi}.$$

Для определения натяжения нити рассмотрим малый элемент ее длины $\Delta l = r\Delta \varphi$ (рис. 2). Он находится под действием двух сил натяжения $T_1$ и $\vec{T}_2$ ($T_1 = T_2 = T$), действующих со стороны соседних к элементу участков нити и направленных по касательным, и силы $2\vec{F}_h$ поверхности жидкости мыльной пленки ($\vec{F}_h$ — сила со стороны одной поверхности пленки). Из условия равновесия элемента нити получим (проектура силы на направление к центру кругга):

$$2T \frac{\Delta \varphi}{2} - 2F_h = 0$$

(мы учили малое элемента и положили sin $\varphi = \varphi$). Чтобы найти силу $F_h$, дадим пленке (мысленно) возможность еще сокращаться, так что элемент $\Delta l$ переместится на величины $\Delta s$. Энергия пленки при этом уменшится на $\Delta E = 2\sigma \Delta l \cdot \Delta s$ за счет работы силы

58

натяжения пленки $\Delta A=2F_{\text{H}}\Delta s$. Откуда $\Delta E=\Delta A$, и $F_{\text{H}}=\sigma \Delta l$.

Таким образом, коэффициент поверхности наятяжения (характеристиий в данной случае одну из поверхностей мыльной пленки) получает еще одну интерпретацию — это сила, действующая на единичный линейный элемент границы поверхности и перpendикularная этому элементу:

$$\sigma = \frac{F_{\text{H}}}{\Delta l}$$

Поскольку $T \Delta \varphi=2F_{\text{H}}$, натяжение вревки будет равно

$$T = 2 \frac{F_{\text{H}}}{\Delta \varphi} = \sigma \frac{l}{\pi}$$

Мы подробно остановились на этой задаче потому, что она показывает, откуда берут свое проискжение силы поверхности наятяжения. Оказывается, для проведения количественных расчетов удобно представление о том, что наличестве поверхности энергии эквивалентно тому, как если бы поверхности жидкости находится в растянутом состоянии. При этом считают, что силы, растяивающие пленку, приложены к ее линейной границе. Если границу эту мысленно проведится, для пленку на две части, то части будут взаимодействовать между собой с силами, перpendикularными границе. Казалось бы, все это очень похож на растяжение резиновой пленки. И тем не менее, имеется принципиальное отличие. Состоит оно в том, что по мере увеличения поверхности пленки жидкости силы поверхности остаются постоянными, тогда как при увеличении растяжения резиновой пленки натяжение в ней увеличивается. Итак, аналогия действительно есть, но пользоваться его нужно осторожно. Тем не менее, при решении задач «силовой язык» часто оказывается более привычным, и им тоже стоит овладеть. Расмотрим в связи с этим также задачи.

Задача 1. Пленки двух жидкостей разделены подвижной планкой

Рис. 3.

длиной $l$ (рис. 3). Коэффициент поверхности наятяжения одной жидкости $\sigma_1$, другой $\sigma_2$. С какой силой нужно действовать на планку, чтобы она находилась в покое?

Пусть, для определения $\sigma_2>\sigma_1$. Предоставлена самой себе, система стремиется к состоянию с минимальным поверхности энергии, при этом пленка с большим коэффициентом поверхности наятяжения будет стремиться сократиться, растявая при этом другую пленку и перемещая пленку. Сила, действующая со стороны правой жидкости, будет равна $F_2=2\sigma_2l$, а со сторонылевой — $F_1=2\sigma_1l$ (мы учили, что пленки имеют две поверхности). Чтобы планка находилась в равновесии, к ней, оченьindo, необходимо приложить силу

$$F=F_2-F_1=2(\sigma_2-\sigma_1)l$$

Задача 2. Внешний радиус мыльного пузира $R$, толщина его стенки $h$. Чему равно давление воздуха пузира? Чему равно давление в толщце мыльной пленки? Считать, что пленка тонкая ($h \ll R$). Давление воздуха пузира $p_0$. Коэффициент поверхности наятяжения мыльного расторона $\sigma$.

Хорошо знакомая всем сферическая форма мыльных пузира обусловлена действием сил поверхности наятяжения. Действительно, если потенциальной энергии мыльной пленки в поле тяжесте можно преобразить по сравнению с ее поверхности энергии (для тонких пленок это как имеет место), то последняя и будет ответственна за наблюдаемую геометрию. Но при неизменном объеме воздуха, содержащого внутренний пузира, фигурой с наименшей площадью поверхности будет шар. Следовательно, в равновесном состоянии пленка будет иметь форму сферического оболочки.

Разобъем (мысленное) сферическую оболочку на две равные половины и расстоянии одну из них (рис. 4). Запишем условия равновесия внешней и внутренней полусферических поверхности. На внешнюю (радуком $R$) действуют силы внешнего давления $F_1=p_0\pi R^2$ (показите это самостояльно), направленная вниз, сила по-

59

верхностного натяжения $F_2 = \sigma \cdot 2\pi R$, направленная вниз, и противодействия им направленная вверх слада давления скатой жидкости (изогнутой жидкой пленки) $F_3 = p_2\pi R^2$.
Равновесие пленки означает, что
$$F_1 + F_2 - F_3 = 0,$$
т. е.
$$p_0\pi R^2 + 2\pi R\sigma = p_2\pi R^2,$$
откуда получаем искомое давление в толщце пленки:
$$p_2 = p_0 + \frac{2\sigma}{R}.$$
На внутреннюю поверхность действуют слада давления жидкой пленки, направленная вниз и равная $F_4 = p_2\pi(R - h)^2$, слада поверхного натяжения $F_5 = \sigma \cdot 2\pi(R - h)$, направленная вниз, и направленная вверх слада давления воздуха внутри пуляря $F_6 = p_1\pi(R - h)^2$. Условие равновесия внутренней поверхности дает, что
$$F_4 + F_5 - F_6 = 0,$$
откуда находится воздуха внутри пуляря:
$$p_1 = p_2 + \frac{2\sigma}{R - h},$$
или
$$p_1 = p_0 + 2\sigma \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R - h} \right).$$

Капиллярные явления

Рассмотрим теперь, как будет себя вести поверхность жидкости вблизи стенок сосуда, в котором она налита.
Очевидно, что с учетом стенок сосуда в общее выражение для энергии системы жидкости — пар — стенки сосуда добавятся еще два слагаемых. Это энергия взаимодействия молекул жидкости с молекулими стенок (при данной температуре она тем больше, чем больше поверхности соприкосно-

веняя жидкости и сосуда) и энергия взаимодействия молекул пара и стенок. Равновесное положение поверхности жидкости и ее пара вблизи стенок сосуда установится таким, чтобы общая потенциальная энергия системы приняла минимальное значение.
В большинстве случае это приводит к тому, что поверхность жидкости вблизи стенок искривляется.

Так, если взаимодействие молекул жидкости и стенок сосуда оказывается наиболее широким по сравнению с другими молекулярными взаимодействиями — жидкость смачивает сосуд, — граница раздела жидкости с паром вблизи стенок «ползет» вверх, образуется некоторый угол $\theta$ с вертикалью (рис. 5). Угол $\theta$ называется краевым углом. При фиксированной температуре он будет всегда одним и тем же для заданной жидкости и материалов стенок. Чем сильнее взаимодействие молекул жидкости с молекулими стенок сосуд, по сравнению с взаимодействием молекул жидкости, тем меньше угол $\theta$. В пределе, когда $\theta \rightarrow 0$, говорят, что жидкость полностью смачивает материалов стенок сосуд. Наоборот, когда прияжение молекул жидкости друг к другу превращет над прияжением молекул жидкости и стенок сосуд, имеем случай несмещающего жидкости. При этом угол $\theta$ — тупой. В пределе, когда $\theta \rightarrow \pi$, говорят о полном несмещении, и граница жидкости вблизи стенок сосуд ведет себя так, как будто жидкость отталкивает от сосуд.

Проиллюстрируем сказанное следующей задачей.

Задача 3. В тонкой горизонтальной расположенной цилиндрической трубке находится капля: а) смачывающей; б) несмещающего жидкости. Что произойдет с каплей, если

60

трубку (с однозою конца) нарегеть?

Поскольку коэффициент поверхности наяжения зависит от температуры (уменьшается с ее ростом), при нагревании одного конца трубки, например левого, силы поверхности наяжения справа начут доминировать, и капля поползет — направо, если жидкость смачивает, и впево, если не смачивает материал трубки.

Кстати, ответьте самостояльно на такой вопрос. Для того чтобы водоотталкивающая масть лучше впитывалась в льжные ботинки, как их нужно нагревать: снаружи или изнутри?

Рассмотрим теперь стандартную экзаменационную задачу прошлых лет.

Задача 4. Чему равна высота поднятия жидкости между двумя вертикальными параллельными стеклянными пластинами, расстояние между которых d (рис. 6)? Коэффициент поверхности наяжения σ, плотность жидкостиρ, смачивание полное.

Пусть ширина пластины L, тогда по перimetру верхней границы жидкости вдоль стеклянных пластин действует сларовhootного наяжения $F_H=2\sigma L$ (коэффициент «2» появляется из-за того, что пластин две), направленная вертикально вверх, поскольку смачивание полное. Эта сларовhoot жидкость между пластинами, а значит, она равна слеяжести этой жидкости:

$$F_H=\rho g L d$$

(Ldh — объем жидкости, поднявшейся между пластинами). Используя полученное ранее выражение для $F_H$, окончательно находим высоту поднятия жидкости:

$$\Delta p=\rho g h,$$

или, подставляя найденное выражение для h,

$$\Delta p=\frac{2\sigma}{d}.$$

Теперь нетрудно решить последнюю задачу.

Задача 5. Между двумя горизонтальные квадратные стеклянные пластинки находится прослоюка воды толщиной d=0,3 мм. Какую силу необходимую приложить к пластинкам перепилкурно поверхности, чтобы их разорвать? Сторона пластинки a=10 см, коэффициент поверхности воды σ=7,3·10^{-2} H/m, смачивание полное.