Trường học yêu thích bài toán

42

Của tôi nằm trong khoảng $-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}$ (hình 6). Các đoạn gần điểm $x$ được hàm $f$ kéo dài thêm $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ lần. Điều này có nghĩa là các đoạn gần điểm $y = tg x$ được hàm $g$ kéo dài thêm $(1 : \frac{1}{\cos^2 x}) = \cos^2 x$ lần. Vì vậy, $g'(y) = \cos^2 x$. Tất cả những gì còn lại là biểu diễn vế phải theo $y$. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng danh tính $\cos^2 x = \frac{1}{1 + tg^2 x}$. Từ đó chúng ta thu được $g'(y) = \frac{1}{1 + tg^2 x} = \frac{1}{1 + y^2}$.

Vì vậy, $(\arctg y)' = \frac{1}{1 + y^2}$. Điều thú vị là đạo hàm của hàm lượng giác nghịch đảo được cho bởi một biểu thức rất đơn giản không chứa bất cứ điều gì liên quan đến lượng giác.

S. M. Lvovsky

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Các số tự nhiên $m$ và $n$ sao cho $m > n$, $m$ không chia hết cho $n$ và có cùng số dư khi chia cho $n$ cũng như $m + n$ khi chia cho $m - n$. Tìm tỉ số $m:n$.
2. Chứng minh rằng mọi cấp số cộng vô hạn gồm các số tự nhiên đều chứa một cấp số nhân vô hạn.
3. Với $a$ và $b$ thì phương trình $x^2 + a|x| + b = 0$ có ​​4 lời giải?
4. Bên trong hình vuông, trên cạnh 1 có một hình tam giác, mỗi cạnh ít nhất bằng 1. Chứng minh rằng tâm hình vuông nằm trong tam giác này.
5. Hai đường tròn không bằng nhau được cho trên một mặt phẳng. Tìm quỹ tích trung điểm của các đoạn nối các điểm trên đường tròn này với các điểm trên đường tròn khác.

lớp chín
6. Giải phương trình
$$2^{[x^2 - 4]} = 3^{[1/x]}.$$
7. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} x^{99}y^{99} + 3x^2 - y^2 = 3, \\ x^{99}y^{99} + 2x^2 - 2y^2 = 1, \\ x^{99}y^{99} - x^2 - 3y^2 = -3. \end{cases}$$
8. Đa thức $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ nhận giá trị nguyên tại tất cả các điểm nguyên $x$. Một trong các hệ số $a_i$ của nó có thể bằng 1/13 không?

9. Có bao nhiêu số dương trong một trăm số hạng đầu tiên của dãy?
   $$\sin 1^\circ, \sin 10^\circ, \sin 100^\circ, \sin 1000^\circ, \dots$$
10. Hình chiếu của một đoạn thẳng lên hai cạnh của một tam giác đều bằng 2 và 3. Tìm hình chiếu của đoạn thẳng này lên cạnh thứ ba.

lớp mười
11. a) Cạnh ngắn nhất của tam giác có độ dài $a = 1$, cạnh dài nhất có độ dài $b = 2$, một trong các góc là $\varphi = 30^\circ$. Tìm độ dài cạnh thứ ba. 6) Số lớn nhất lời giải mà bài toán trước đó có thể có khi chọn đúng các số $a, b, \varphi$ (tất nhiên là $a > 0, b > 0, 0 < \varphi < 180^\circ$) là bao nhiêu?
12. Phương trình Kubische và phương trình bậc hai, cả hai đều có hệ số cao nhất là 1 và hệ số hữu tỉ, đều có điểm chung là lời giải. Chứng minh rằng phương trình lập phương có hữu tỉ lời giải.
13. Giá trị tối thiểu của hàm $y = (x - a)^4 + (x - b)^4 + (x - c)^4$ là 0 và giá trị tối thiểu của hàm $y = (x - a)^4 + 2(x + b)^4 + (x - c)^4$ là 4. Tìm $a, b$ và $c$.
14. Tìm tất cả $x$ mà
$$\sin x \leq \sin 2x \leq \dots \leq \sin 10x.$$
15. Chứng minh rằng khi cắt một mặt phẳng tạo thành một góc tam giác đều có các đường thẳng phẳng thì có thể thu được tam giác nhọn bất kỳ.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi
D. V. Fuks