Bài toán M1156—M1160; F1163—F1167

24

Nhiệm vụ

M1156 — M1160, F1163 — F1167

M1156. Tám đội khúc côn cầu cạnh tranh với nhau để lọt vào bốn đội cuối cùng. (Mỗi bên gặp nhau 1 lần, thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm)
Số điểm thấp nhất đảm bảo lọt vào vòng 4 chung cuộc là bao nhiêu?

Sanzhar Khodzhev, học sinh lớp 10

M1157. Khi các tam giác - trắng, đỏ và lục - có chung một điểm trong M. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một đỉnh của mỗi tam giác sao cho điểm M nằm bên trong hoặc trên đường viền của một tam giác có các đỉnh tại các điểm đã chọn có ba màu khác nhau.

Imre Baranyi (Hungary)

M1158. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(x+y)(x+z)$ nếu $x, y, z$ là số dương và $xyz(x+y+z)=1$.

Oleg Khristenko, học sinh lớp 10

M1159. Dùng thước kẻ hai mặt dựng một góc có độ lớn $30^\circ$. Các hoạt động sau đây được cho phép:
(1) vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm, (2) vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho cách một khoảng bằng chiều rộng của thước.

A. V. Polev

M1160. Ở một đầu $A$ của con đường thẳng $AB$ 10 con chuột túi tập trung lại và bắt đầu chơi trò nhảy cóc. Họ thay phiên nhau mang ách: người thứ nhất muốn ách bất cứ lúc nào; chiếc móc thứ hai xuyên qua chiếc móc đúng sao cho chiếc thứ nhất nằm chính xác ở giữa điểm đầu và cuối của chiếc khóa, chiếc thứ ba theo cách tương tự xuyên qua chiếc thứ hai, v.v., chiếc thứ mười móc chiếc thứ chín, sau đó một loạt khóa mới bắt đầu theo các quy tắc tương tự.
a) Sau 10 lần khóa, liệu có thể thu thập được tất cả chuột túi ở điểm B không?
b) Họ có thể tập trung ở đó sớm hơn được không?

S. L. Eliseev

F1163. Do hệ số ma sát thấp, thiết bị tự động hóa không thể di chuyển trên băng với gia tốc vượt quá modulo $a=0,5$ m/s². Theo điều kiện cắt, người lái xe cần đi từ điểm $A$ trong thời gian ngắn nhất đến điểm $B$, nằm trên đường thẳng vuông góc với hướng của tốc độ tự động hóa ban đầu (hình 1). Thời gian tối thiểu có thể là bao nhiêu nếu khoảng cách là $AB=375$ m và tốc độ thấp nhất là $v_0=10$ m/s? Quỹ đạo nào nó sẽ tự động đi theo? Trả lời các câu hỏi tương tự cho trường hợp về đích ở điểm $C$, $BC=200$ m.

A. N. Korotkov