Задачи М1156—М1160; Ф1163—Ф1167

Квант 1989, №4 с. 24 Тег F4BG

Задания

M1156 — M1160, Ф1163 — Ф1167

M1156. Восемь хоккейных команд совершаются между собой за выход в финальную четверку. (Каждая две встречются один раз, за выигрыш дается два очка, за ничью — одно очко, за проигрыш — 0 очков.)
Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четверку?

Санжар Ходжев, ученик 10 класса

M1157. При треугольника — белый, красный и зеленый — имеют общую внутреннюю точку M. Доказите, что можно выбрать по одной вершине каждой треугольника так, чтобы точка M находилась внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трех разных цветов.

Имре Барани (Венгрия)

M1158. Найдите наименьшее значение выражения $(x+y)(x+z)$ , если $x, y, z$ — положительные числа и $xyz(x+y+z)=1$ .

Олег Христенко, ученик 10 класса

M1159. С помощью двусторонней линейки построите угол величиной $30^\circ$ . Разрешены следующие операции:
(1) проведение прямой через две точки, (2) проведение прямой, параллельной данной, на расстоянии, равном ширине линейки.

А. В. Полев

M1160. У одного конца $A$ прямолинейной дороги $AB$ собрались 10 кентгуру и начали играть в чехарду. Они пригают по очереди: первый каждый раз прягает, куда хочеет; второй прягает через верного так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концем пряжака, третый точно так же прягает через второго и т. д., десятий прягает девятого, затем начинается новая серия пряжков по тем же правилам.
a) Могут ли через 10 серий пряжков все кентгуру собрать в точке B?
b) Могут ли они собрать там раныше?

С. Л. Елисеев

Ф1163. Из-за малого коэффициента треня автоматizable не может двигаться по льду сускорением, преосходящим по модulo $a=0,5$ м/c². По условям срезовования водитель необходимо из точки $A$ за наименьшее время попасть в точку $B$ , находящую на прямой, перpendикулярной направлению начальной скорости автоматизации (рис. 1). Каково минимальное возможное время, если расстояние $AB=375$ м, а наименьая скорость $v_0=10$ м/c? По какой траектории при этом должен двигаться автоматically? Ответьте на аналогичные вопросы для случая, когда финиш находится в точке $C$ , $BC=200$ м.

А. Н. Коротков