Законы сохранения энергии и импульса

60

Законы сохранения энергии и имплуса

Кандидат физико-mатематических наук
А. И. ЧЕРНОУЦАН

В этой статье обсуждается вопрос совместного использования двух законов сохранения — энергии и имплуса — для решения различных физических задач.

На применных экзаменах по физике передко возникает ситуация, когда абитриенты, хорошо зная каждый закон сохранения в отдельности, испытывают «психологические» трудности при необходимости соединить эти законы вместе, в рамках одной задачи. Причем чаще всего отнимания ускорizaет более простой, на наш взгляд, закон — закон сохранения импульса. Записав соответствующее уравнение для энергии, абитриент уже не вспоминает об имплусе — и… попадает впросак. Впрочем, бывает и по-другому.

Рассмотрим несколько конкретных примеров того, как именно совместные «усилия» энергии и имплуса приводят к нужному результату.

Задача 1. Два шарика, сделанные из одного материалов и имеющие массы $m_1$ и $m_2$, движутся настречу друг друга со скоростью $v_1$ и $v_2$. На сколько возрастет температура шариков после любого абсолотного неупругою удара, если уделная теплоемкость материалов шариков с?

Начальные температуры шариков быстроенейем их внутренней энергии:

$$\Delta E_{\text{вн}} = c (m_1 + m_2) \Delta t.$$

Многие абитриенты ошибочно считают, что в результате удара во внутренней энергии

61

реннюю энергию переходит вся начальная кинетическая энергия системы $m_1 v_1^2/2 + m_2 v_2^2/2$. При этом они забывают, что шарики не могут оставиться после удара, так как это противоречило бы закону сохранения импульса — начальный импульс системы $m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$, вообще говоря, не равен нулю. Значит, при подсчете энергии надо учеть и кинетическую энергию шариков в конечном состоянии.

Обозначим скорость спипшихся после абсолотно неупругого удара шариков через $v$ и запишем законы сохранения энергии и импульса, точнее — проекции импульса на направление движения первого шарика:

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} + \Delta E_{\text{вн}},$$

$$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v.$$

Решая совместно полученные три уравнения, находим искомое увеличние температуры:

$$\Delta t = \frac{m_1 m_2 (v_1 + v_2)^2}{2 c (m_1 + m_2)^2}.$$

Задча 2. Дева валона, массы которых $M_1$ и $M_2$, движутся навстречу друг друга со скоростью $v_1$ и $v_2$. При стольновении проискодит скатие четырех одинаковых бферных пружин, после чего валоны расходят. Надите максимальную деформацию каждой пружины, если ее жесткость равна $k$.

В этой задаче, в отличие от предыдущего, можно использовать закон сохранения механической энергии (подразумевается, что трене мало, а пружины идеальные), приравняв на начальную энергию валонов к энергии системы в тот момент, когда деформация пружин $x$ максимальная. При этом искомая величина $x$ войдет в потенциальную энергию пружей деформации пружин:

$$E_p = 4 k x^2/2.$$

Однако, кроме этой энергии, надо учеть еще и кинетическую энергию валонов.

Тот факт, что при максимальном сближении валоны не останавливают (о чем, к сожалению, забывают многоные абитуренты), следует, как и в предыдушей задаче, из закона сохранения импульса. Единственная особенность этого момента состоит в том, что при максимальной деформации пружин скорости валонов одинаковы: $v'_1 = v'_2 = v$. Поэтому законы сохранения энергии и импульса (вернее — его проекции) выглядают следующим образом:

$$\frac{M_1 v_1^2}{2} + \frac{M_2 v_2^2}{2} = \frac{(M_1 + M_2) v^2}{2} + 4 \frac{k x^2}{2},$$

$$M_1 v_1 - M_2 v_2 = (M_1 + M_2) v.$$

Отсюда получаем

$$x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{M_1 M_2}{k (M_1 + M_2)}} (v_1 + v_2).$$

Задча 3 (баллистический матрик). В брусок массой $M$, высщенный на паралельных нитях длиной $l$, попадает горизонтальное летяющая пуля массой $m$ и застревает в нем (рис. 1). В результате удара каждая нить отклоняется на угол $\alpha$. Найдите начальную скорость пружи v. Нити считать идеальными (невесомыми и нерастяximыми).

Как видно из рисунка, угол отклонения нитей $\alpha$ связан с высотой $h$, на которой поднимается брусок:

$$h = l (1 - \cos \alpha),$$

а высоту $h$ можно связать с потенциальной энергейой бруска и пули в конечном состоянии:

$$E_p = (M + m) gh.$$

Возникает вопрос: выполняется ли в данной ситуации закон сохранения

62

механический энергии? Другими словами, равна ли энергия системы в конечном состоянии ее начальной энергии, т. е. кинетическая энергия пуля $mv^2/2$? Ответ, конечно, отрицательный. Ведь мы знаем, что при неупругом ударе часть механической энергии переходит во внутреннюю.

Как же быть? Расмотрим еще одно, промежутное состояние системы — сразу после окончания удара, когда пуля уже застряла в бруске, но нищие еще вертикальные. Энергия системы в этом состоянии представляется собой просто кинетическое энергию бруска с пуляй: $E_k=(m+M)v'^2/2$, где $v'$ — их общая скорость. После того как неупругий удар уже закончился, энергия больше терять не будет, и можно записать

$$E_k=E_p,$$

или

$$\frac{(m+M)v'^2}{2}=(M+m)gh.$$

Скорость $v'$ можно связать с начальной скоростью пуля с помощью закона сохранения импульса

$$mv=(m+M)v'.$$

Из последних двух уравнений, с учетом выражения для $h$, имеем

$$v=2\left(1+\frac{M}{m}\right)\sqrt{gl}\sin \frac{a}{2}.$$

Заметим, что в этой задаче законы сохранения импульса и энергии работают не одновременно, а как бы по очереди. Понять это оказывается не так просто, и многие абитриенты решают задачи такого типа с помощью одного закона сохранения энергии, получая, конечно же, неправильные результаты.

Задача 4. Три маленьких загруженных шарика — масса каждого шарика $m$, заряд $q$ — содержены одинаковыми идеальными нитями длиной $l$ и образуют равносторонний треугольник (рис. 2). Одну из нитей перерезают, и шарики приходят в движение. Найдите максимальную скорость среднего шарика (3) в процессе движения. Дейстем силу тяготения можно преобразить.

Так как система замкнута и в ней действуют только силы кулоновского взаимодействия, к системе можно применить закон сохранения энергии. При этом энергию взаимодействия шариков 1, 3 и 2, 3 учитывают не будем, поскольку она в состоянии а) и 6) (см. рис. 2) одна и та же. Тогда закон сохранения энергии будет иметь вид

$$\frac{kq^2}{l}=\frac{kq^2}{r_{12}}+2\frac{mv^2}{2}+\frac{mV^2}{2}.$$

На основании одного этого уравнения нельзя не только вычислить искому скорость $V$, но и понять, когда она максимальная. Однако раз система замкнута, мы можем применить еще и закон сохранения импульса — полный импульс трех шариков все время равен нулю. Для проекций импульсов получим

$$0=2mv-mV.$$

Тепер видно, что скорость $V$ будет максимальным при наиболее удалении шариков 1 и 2 друг от друга, т. е. когда $r_{12}=2l$. Решая соответствующие уравнения, найдем

$$V=q\sqrt{\frac{2}{3}\frac{k}{ml}}.$$

Почему-то много школьников использованы при решении этой задачи закона сохранения импульса какжется необъчным или даже страным.

Задача 5. На бруске длиной $l$ и массой $M$, расположенном на главной горизонтальной поверхности, лежит маленькое тelo массой $m$ (рис. 3). Коэффициент треня между телом и бруском $\mu$. С какой скорость $v$

63

должна двигатся система, чтобы после управления удра бруска о стенку тело упало с бруска?

Удар бруска о стенку приведет к тому, что его скорость скачком изменится на противоположную. Скорость же тела за время удра изменится не успет, и оно начет скользывать по бруску.

Найдем, на какое расстояние $x$ переместится тело относительно бруска до окончания скольжения. Ясно, что условия $x > l$ и будет условием падения тела с бруска. С расстоянием $x$ связана работа силы треня скольжения —

$$A_{\text{тр}} = -\mu mgx,$$

которая, в свою очередь, равна изменению кинетической энергии системы:

$$A_{\text{тр}} = \frac{(m+M)v^2}{2} - \left(\frac{mv^2}{2} + \frac{Mv^2}{2}\right).$$

Здесь $v'$ — скорость бруска с телом в тот момент, когда тело останавливается относительно бруска. Эту скорость можно найти из закона сохранения импульса

$$Mv - mv = (M+m)v'.$$

Решая совместно все три уравнения, получаем

$$x = \frac{2Mv^2}{\mu g(M+m)}.$$

Условие $x > l$ позволяет найти исходную скорость:

$$v > \sqrt{\frac{1}{2}\mu g\left(1 + \frac{m}{M}\right)}.$$

Может показаться непонятным, почему работа $A_{\text{тр}}$ равна произведению силы на перемещение тела относительно бруска — ведь брусок не стоит на месте, а значит, переме-

шение тела относительно земли не равно его перемещению относительно бруска. Дело в том, что изменение механической энергии системы равно полной работе $F_{\text{тр}}$ — как над телом, так и над бруском:

$$A_{\text{тр}} = \left(F_{\text{тр}}x\right) + \left(-F_{\text{тр}}x\right) = F_{\text{тр}}x.$$

В заключение разберем задачу на расчет ядерной реакции. В этой задаче более отчетливо, чем в предыдущих, выступает векторный характер закона сохранения импульса.

Задача 6. Для проведения реакции синтеза тяжелого и сверхтяжелого изотопов водорода ($^2H + ^3H = ^4He + n$)ускоренные до энергии $E = 2M\theta B$ ядра действия направляют на тритцевую мишень. Детектор резистрирует нейтроны, вылетающие перпендикулярно направленную пучка дейтронов. Определите энергию резистрируемых нейтронов, если в реакции выделяется энергия $\Delta E = 14M\theta B$.

Закон сохранения энергии в этой реакции имеет вид

$$\frac{m_{\text{д}}v_{\text{д}}^2}{2} = E = \frac{m_{\text{r}}v_{\text{r}}^2}{2} + \frac{m_{\text{н}}v_{\text{н}}^2}{2} - \Delta E$$

(здесь и далее индекс «д» обозначает дейтери, «г» — гелий, «н» — нейтрон). Закон сохранения импульса надо записать в проекциях как на ось $X$ (направление скорости падающих дейтронов), так и на ось $Y$ (направление вылета резистрируемых нейтронов):

$$m_{\text{д}}v_{\text{д}} = m_{\text{r}}v_{\text{rx}},$$

$$0 = m_{\text{н}}v_{\text{н}} - m_{\text{r}}v_{\text{ry}}.$$

Принимая во внимание, что $v^2_{\text{r}} = v^2_{\text{rx}} + v^2_{\text{ry}}$, получаем

$$\frac{m_{\text{н}}v_{\text{н}}^2}{2} \left(1 + \frac{m_{\text{н}}}{m_{\text{r}}}\right) = \Delta E + \frac{m_{\text{д}}v_{\text{д}}^2}{2} \left(1 - \frac{m_{\text{д}}}{m_{\text{r}}}\right).$$

Отсюда, учитывая, что $m_{\text{н}}/m_{\text{r}} = 1/4$, а $m_{\text{д}}/m_{\text{r}} = 1/2$, находим энергию резистрируемых нейтронов:

$$E_{\text{н}} = \frac{4}{5} \left(\Delta E + \frac{1}{2}E\right) = 12M\theta B.$$

Упражнения

1. Тележка массой $M$ движется со скоростью $v$ по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 4). На тележку с высоты