Ленинградский государственный университет

67

Ленинградский государственный университет

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(математико-механический факультет, факультеты прикладной математики — процессов управления и физической)

1. Решите уравнение
   $$\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{\cos x}{1+\sin x} = 2.$$
2. Решите неравенство
   $$3\sqrt{\log_3 x} - \log_3(3x) \leq 1.$$
3. Найдите все пары $(a, b)$ значений параметров $a$ и $b$, для которых все вещественные корни уравнения $x^2 - ax + a = 0$ являются также корнями уравнения $x^2 + b^2x - 8b = 0$.
   4.1. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $D$ и $E$. Точка $G$ является точкой пересечения прямой, параллельной $BC$ и проходящей через $D$, с отрезком $AE$, а точка $F$ — точка пересечения отрезка $CD$ с прямой, проходящей через $E$ и параллельной $AB$. Доказите, что отрезок $GF$ параллелен основанию $AC$.
   4.2.!) Найдите площадь фигуры, образованной теми точки $(x, y)$ декартовой плоскости, для которых выполнены уравнения
   $$|x+1| + |y| \leq 2, (x+2)^2 + y^2 \leq 1.$$
4. В прямой круговой конус высан шар объемом $V$. Какое наименьшее значение может иметь объем конуса?

Вариант 2
(психологический факультет отделение экономического кибернетики экономического факультета)

1. Числа $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию, а числа $a-1, b-4, c-3$ — геометрическую. Известно также, что произведение краинных членов геометрической прогрессии на 2 больше среднего члена арифметической. Найдите эти числа.
2. Решите уравнение
   $$\sqrt{5-x^2} = x+1.$$
   3.1. Найдите все решения неравенства $1+\cos 2x \geq \cos x (1+|1-2\cos x|)$ на интервале $[0; 2\pi]$.

3.2.*) Решите неравенство $|1/2 - \cos x| \geq \cos x$.
4. В равноведренном треугольнике радиус описанного кругга равен $R$, а вписанного — $r$. Найдите расстояние между центрами этих кругов.
5. В правильной треугольной парамиде $SABC$ через ребро основания $BC$ проведено сечение перепendlukулярно ребру $SA$. Найдите отношение объемов частией, на которые это сечение разбиает парамид, если известно, что высота парамид в два раза больше радиуса окружности, описанной вокруг основания.

Вариант 3
(химический факультет)

1. Найдите трехзначное число, если известно, что сумма его цифр равна 12, а число, записанное теми же цифрами в противоположном порядке, меньше утроенного исходного числа на 24.
2. Решите уравнение
   $$(7\cos^2 x - 2)\sqrt{2\cos x + 1} = 0.$$
3. Решите неравенство
   $$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x} \geq \sqrt{3-x}.$$
4. Постройте график функции
   $$f(x) = \frac{x^2-3|x|+4}{x}.$$
5. В правильной треугольной парамиде высота равна $H$, а радиус круга, вписанного в основание, равен $R$. Найдите объем шара, касающейся плоскости основания в его центре и плоскости, проведенной через вершину парамид и середины двух сторон основания.

Вариант 4
(библиологический факультет, отделение математической лицензии физологического факультета)

1. Постройте график функции
   $$f(x) = |x-1| - |x+3/2|.$$
2. Решите уравнение
   $$x-1 = \sqrt{x^4-x^3-x^2-2x+1}.$$
3. Решите неравенство
   $$\sin(\cos x) \geq 1/2.$$
4. На плоскости данных выпуклый четырехугольник $ABCD$. Найдите геометрическое место точки, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на $AB$ и $CD$.
5. Две равные правильные треугольные парамиды $SABC$ и $S'A'B'C'$ расположены так, что $S=S'$, центры оснований $O$ и $O'$ совпадают, а угол $AOA'$ равен $30^\circ$. Найдите объем части этих двух парамид, если известно, что стороны оснований равны $a$, общая высота парамид — $h$.

*) Задание 4.2 предлагалась на физическом факультете.

68

Вариант 5
(геологическая факультет)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2u + v = 7, \\ |u - v| = 2. \end{cases}$$

2. Решите уравнение
   $$\cos^2 2x - 4 \sin^4 x + 3 = 0.$$

3. Решите неравенство
   $$\log_{1/4}(2x + 3) > \log_9 27.$$

4. На сторонах треугольника $ABC$ построены все его правильные треугольники. Доказите, что кругги, описанные вокруг этих треугольников, целиком покрывают $\triangle ABC$.

5. Плоскость, параллельная основанию примыды, делит ее на две части равного объема. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих частей.

Вариант 6
(геологический факультет, отделения политэкономии и прикладной социологии экономического факультета)

1. Исследуйте функцию
   $$f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$$

и построите ее график.

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{\cos x} = 1 - \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right).$$

3. Решите неравенство
   $$\log_{x-2}(1 + 11x^3 - x^6) < 0.$$

4. Найдите площадь фигуры, образованной теми точками $(x, y)$ декартовой плоскости, для которых выполнены условия:
   $$|x| + |y - 1| \leq 2, x^2 + y^2 \geq 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} y.$$

5. В прямой треугольной призме $ABCA'B'C'$ через точку $A$ и среднюю линию $D'E'$ основания $A'B'C'$, параллельную $B'C'$, проведено сечение. Найдите отношение объемов образованшихся частей призмы.

Вариант 7
(отделение экономики, отделение управления научными исследованиями и проектованием экономического факультета)

1. См. задачу 1 варианта 3.

2. Решите уравнение
   $$|1/2 - \cos x| = \cos x.$$

3. Решите неравенство
   $$\log_{2-x}(4 - x^2) \leq 0.$$

4. Найдите минимальное и максимальное значения функции $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-2}}$ на интервале (3; 5).

5. См. задачу 5 варианта 3.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет

Вариант 1

1. При каких значениях угла $a$ возможно равновесие одинаковых брусков в положении, показанном на рисунке 1? Коэффициент тремя между брусками и подставкой $\mu$, тремя между брусками пребежжимо мало.

2. Найдите работу, совершаемую одним модель идеального газа в цикле $1-2-3-4-1$ (рис. 2), если известны температуры $T_1$ и $T_3$ в точках 1 и 3 соответственно, причем эти точки лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.

3. Какой загадный проезд совершенем $R$ после замыкания ключа в схеме, показанном на рисунке 3? Величины $L, R, \varepsilon$ и $r$ заданы.

4. При помещении предмета в положение 1 либо 2 (рис. 4) линза дает его действительное изображение с увеличением $\Gamma_1$ или $\Gamma_2$ соответственно. Найдите увеличение для случая, когда предмет находится посередине между положениями 1 и 2.

Вариант 2

1. Два маленьких шарика, массы которых $m$ и $M$, соединены легким жестким стержнем длиной $l$ и находятся в равновесии, показанном на рисунке 5. Коэффициент тремя между стержнем и выступом $\mu$, тремя между шариком $m$ и вертикальной стенкой отсутствует. Каким условием должны удовлетворять параметры $m, M, \mu, l, a$ и $\alpha$, чтобы указанное равновесие было возможно?

2. Найдите КПД тепловых машин, работающих по циклам $1-2-3-1$ и $1-3-4-1$, если КПД машинны, работающей по циклу $1-2-3-4-1$, равен $\eta$ (рис. 6). В качестве рабочого тела во всех случаях используется идеальный газ.

3. Какое количество теплоты выделится в резисторе сопротивлением $R$ после замыкания ключа в схеме, показанном на рисунке 7? Величины $C, R, \varepsilon$ и $r$ заданы.

4. На главной оптической оси линзы расположены предметы $AA_1, BB_1$ и их изображения $A'A'_1, B'B'_1$ соответственно (рис. 8). Найдите отношение $\gamma = A'B'/AB$, если известно, что $A'A'_1/AA_1 = \Gamma_1$ и $B'B'_1/BB_1 = \Gamma_2$.

Математiko-механический факультет
и факультет прикладной математики
— проесов управления

Вариант 3

1. Первый вариант много неподвижного наблюдаателя, стоящего у начала этого вагона, за время $t_1$, последний — за $t_2$. Считая движение поезда равновесным, а длины вагонов одинаковыми, найдите время движения много наблюдаателя всего поезда.

2. Один моль идеального газа участует в цикле $1-2-3-4-1$ (рис. 9). Определите работу, совершаемую газом, если температуры газа в состоянии 1 и 3 равны $T_1$ и $T_3$ соответ-