Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленина)

70

4. В окружности радиусом $R$ проведены диаметр и хорда, образующие угол 2 arctg 1/4. Точка их пересечения лежит на расстоянии $R/2$ от центра окружности и делит диаметр и хорду на две части. Найдите радиус $r$ круга, касающейся исходной окружности и меньших частей диаметра и хорды.

5. Известно, что $A, B, C, D$ — постоянные, $16D < 49$. Сумма функций $\frac{1}{Ax+B}$ и $\frac{1}{Cx-1}$ равна функции $\frac{12x-6}{4x^2-7x+D}$. Найдите $D$.

Физика

Задача устного экзамена

1. На горизонтальном столе лежит лист бумаги, прижатый однородным стержнем массой $m$, верхиной конец которого шарниро закреплен. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к листу, чтобы вытащить его? Угол между стержнем и листом $a$, коэффициент треня между ними $\mu$. Тренем между столом и бумагой пренебречь.

2. Нить длиной $l$ с привязанными к ней шариком массой $m$ отклонили на $90^\circ$ от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии от точки подвеса по вертикали нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налегев на него, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения $T$.

3. На горизонтальной плоскости лежат два бруска, соединенные ненапряженной пружиной. Массы брусков $m_1$ и $m_2$. Какую наименьшую постоянную силу, направленную горизонтально, нужно приложить к первому бруску, чтобы сdwинулся и второй? Коэффициент треня брусков о плоскость $\mu$.

4. Объем воздушного шара $V = 224$ м³, масса оболочки $m = 145$ кг. Шар заполнен горячим воздухаом при нормальном атмосферном давлении. Какую температуру должен иметь воздушный объем оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура воздуха вне оболочки $t_0 = 0^\circ\text{C}$.

5. Tonкостенный резиновый шар массой $m_0 = 50$ г наполнен азотом и погружен в озеро на глубину $h = 100$ м. Найдите массу азота, если шар находится в положении равновесия. Будет ли равновесие устойчивым? Atmosферное давление $p_0 = 760$ мм рт. ст., температура в глубине озера $t = 4^\circ\text{C}$, молярная масса азота $M = 0,028$ кг/mоль. Наяжением резины пренебречь.

6. Два одноменных точных заряда $q_1$ и $q_2$ с массами $m_1$ и $m_2$ движутся навстречу друг другу. В момент, когда расстояние между зарядами $r$, они имеют скорости $v_1$ и $v_2$. До какого минимального расстояния слизятся заряды?

7. Плоский конденсатор находится во внешнем однородном электрическом поле, перпендикулярном пластинам. Наряженное поля $E = 1$ кВ/м, площадь пластин конденсатора $S = 100$ см². Какие заряды оказываются на каждом из пластин, если конденсатор замкнут проводником накоротко? Пластины конденсатора до замыкания не заряжены.

8. Луч света падает на стопку плоских прзрачных пластин одинаковой толщины, по казательble предложения каждой из которых в $k$ раз меньше, чем у вышележшей. При каком наименьшем угле padения луч не пройдет сквозь стопку? Показатель предложения верхней пластин $n$, число пластин $N$.

9. На каком расстоянии от стеклянного шара радиусом $R$ следует поместить точный источник света, чтобы его изображение оказалось с другой стороны от шара на таком же расстоянии? Показатель предложения стека $n$. Изображение создается узким пучком лучей, близких к оптической оси.

10. Плоский алюминевый электрод освещается ультрафилютом светом с длиной волны $\lambda = 83$ nm. На какое максимальное расстояние от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется задерживающее электрическое поле направлено $E = 7,5$ В/cм? Красная граница фотоэфекта для алюминия соответствует длине волны $\lambda_{\max} = 332$ nm.

Публикация подготовила Ю. Н. Кузьмин, Ю. Д. Максимов, В. Н. Романов, И. В. Русанов, В. А. Чихаев

Ленинградский электротехнический институт им. В. И. Ульянова (Ленина)

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Дана функция

$$f(x) = 2 - (x^2 - x + 1)(x^2 - x).$$

a) Решите уравнение $f(x) = 0$.

b) Найдите наиболее значение $f(x)$.

b) Сколько корней имеет уравнение $f(x) = x^2 - x + a$ в зависимости от $a$?

2. В треугольнике ABC длина стороны AC равна 1, углы $A$ и $B$ равны $a$ и $\pi/3$ соответственно. Обозначим через $CK$ и $AL$ высоты треугольника, через $m(\alpha)$ — сумму длин отрезков AK и CL.

a) Выразите $m(\alpha)$ через $a$.

b) Решите уравнение $m(\alpha) = 1$.

b) Постройте график функции $m(\alpha)$. Отметьте координаты точки экстремума.

3. Функция $y = f(x)$ задается формулой $f(x) = x^4 - 2ax + a^2 - 2$.

a) Найдите наименьшее значение функции $f(x)$ при $a = 2$.

b) Сколько корней имеет уравнение $f(x)$ при $a = 2$?

b) При каких $a$ функция $f(x)$ имеетровно один корень?

г) Для каких $x$ существует $a$ такое, что $x^4 - 2ax + a^2 - 2 = 0$?

Вариант 2

1. Дана функция

$$f(x) = \sqrt{x + 1} - x.$$