Đại học bang Leningrad

67

Đại học bang Leningrad

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Toán và Cơ khí, Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển và Vật lý)

1. Giải phương trình
   $$\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{\cos x}{1+\sin x} = 2.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$3\sqrt{\log_3 x} - \log_3(3x) \leq 1.$$
3. Tìm tất cả các cặp $(a, b)$ của giá trị tham số ​​$a$ và $b$ mà tất cả các nghiệm thực của phương trình $x^2 - ax + a = 0$ cũng là nghiệm của phương trình $x^2 + b^2x - 8b = 0$.
   4.1. Trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$, các điểm $D$ và $E$ lần lượt được chọn. Điểm $G$ là giao điểm của đường thẳng song song với $BC$ và đi qua $D$ với đoạn $AE$, còn điểm $F$ là giao điểm của đoạn thẳng $CD$ với đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AB$. Chứng minh rằng đoạn $GF$ song song với đáy $AC$.
   4.2.!) Tìm diện tích của hình tạo thành bởi các điểm $(x, y)$ của mặt phẳng Descartes thỏa mãn các phương trình
   $$|x+1| + |y| \leq 2, (x+2)^2 + y^2 \leq 1.$$
4. Một quả cầu có thể tích $V$ được đặt trong một hình nón tròn bên phải. Thể tích hình nón có thể có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Tùy chọn 2
(Khoa Tâm lý, Khoa Điều khiển Kinh tế, Khoa Kinh tế)

1. Các số $a, b, c$ tạo thành một cấp số cộng và các số $a-1, b-4, c-3$ tạo thành một cấp số nhân. Người ta cũng biết rằng tích của các số hạng cực trị của một cấp số nhân lớn hơn 2 số hạng ở giữa của một cấp số cộng. Tìm những con số này.
2. Giải phương trình
   $$\sqrt{5-x^2} = x+1.$$
   3.1. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải $1+\cos 2x \geq \cos x (1+|1-2\cos x|)$ trên khoảng $[0; 2\pi]$.

3.2.*) Giải bất đẳng thức $|1/2 - \cos x| \geq \cos x$.
4. Trong một tam giác đều, bán kính của đường tròn ngoại tiếp là $R$ và bán kính của đường tròn nội tiếp là $r$. Tìm khoảng cách giữa tâm của các vòng tròn này.
5. Trong một tham số tam giác đều $SABC$, một phần vuông góc với cạnh $SA$ được vẽ qua cạnh của đế $BC$. Tìm tỉ số thể tích của các phần mà phần này chia paramid thành, nếu biết rằng chiều cao của paramid gấp đôi bán kính của hình tròn ngoại tiếp đáy.

Tùy chọn 3
(Khoa Hóa học)

1. Tìm một số có ba chữ số biết tổng các chữ số của nó là 12 và số viết cùng các chữ số đó theo thứ tự ngược lại nhỏ hơn ba số ban đầu là 24.
2. Giải phương trình
   $$(7\cos^2 x - 2)\sqrt{2\cos x + 1} = 0.$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x} \geq \sqrt{3-x}.$$
4. Vẽ đồ thị hàm số
   $$f(x) = \frac{x^2-3|x|+4}{x}.$$
5. Trong một tham số tam giác đều, chiều cao là $H$ và bán kính của hình tròn nội tiếp ở đáy là $R$. Tìm thể tích của hình cầu tiếp tuyến với mặt phẳng đáy tại tâm của nó và mặt phẳng vẽ qua đỉnh của các paramit và điểm giữa hai cạnh của đáy.

Tùy chọn 4
(Khoa Thư mục, Khoa Toán cấp phép của Khoa Vật lý)

1. Vẽ đồ thị hàm số
   $$f(x) = |x-1| - |x+3/2|.$$
2. Giải phương trình
   $$x-1 = \sqrt{x^4-x^3-x^2-2x+1}.$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$\sin(\cos x) \geq 1/2.$$
4. Trên mặt phẳng dữ liệu có một tứ giác lồi $ABCD$. Tìm quỹ tích các điểm là trung điểm của các đoạn có điểm cuối nằm trên $AB$ và $CD$.
5. Hai paramit tam giác đều $SABC$ và $S'A'B'C'$ được sắp xếp sao cho $S=S'$, tâm của các đáy $O$ và $O'$ trùng nhau và góc $AOA'$ bằng $30^\circ$. Tìm thể tích một phần của hai paramidas này, nếu biết cạnh của các đáy bằng $a$ thì tổng chiều cao của các paramidas là $h$.

*) Bài tập 4.2 được giao tại bộ môn Vật lý.

68

Tùy chọn 5
(khoa địa chất)

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 2u + v = 7, \\ |u - v| = 2. \end{cases}$$

2. Giải phương trình
   $$\cos^2 2x - 4 \sin^4 x + 3 = 0.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{1/4}(2x + 3) > \log_9 27.$$

4. Tất cả các hình tam giác đều của nó được dựng trên các cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác này bao phủ hoàn toàn $\triangle ABC$.

5. Một mặt phẳng song song với đáy của số nguyên chia nó thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tìm tỉ số diện tích các bề mặt bên của các phần này.

Tùy chọn 6
(Khoa Địa chất, Khoa Kinh tế Chính trị và Xã hội học ứng dụng, Khoa Kinh tế)

1. Khám phá tính năng
   $$f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$$

và âm mưu nó.

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{\cos x} = 1 - \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right).$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{x-2}(1 + 11x^3 - x^6) < 0.$$

4. Tìm diện tích của hình được tạo bởi các điểm $(x, y)$ của mặt phẳng Descartes thỏa mãn điều kiện:
   $$|x| + |y - 1| \leq 2, x^2 + y^2 \geq 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} y.$$

5. Trong lăng kính tam giác thẳng $ABCA'B'C'$, một phần được vẽ qua điểm $A$ và đường giữa $D'E'$ của đáy $A'B'C'$, song song với $B'C'$. Tìm tỉ số thể tích của các phần tạo thành lăng kính.

Tùy chọn 7
(Khoa Kinh tế, Phòng Quản lý nghiên cứu khoa học và thiết kế khoa Kinh tế)

1. Xem bài toán 1 tùy chọn 3.

2. Giải phương trình
   $$|1/2 - \cos x| = \cos x.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{2-x}(4 - x^2) \leq 0.$$

4. Tìm giá trị tối thiểu và tối đa của hàm $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-2}}$ trên khoảng (3; 5).

5. Xem bài toán 5 tùy chọn 3.

Vật lý
Bài thi viết
Khoa Vật lý

Tùy chọn 1

1. Tại những giá trị nào của góc $a$ thì các thanh giống hệt nhau có thể cân bằng ở vị trí như trong hình 1? Hệ số ba giữa các thanh và giá đỡ $\mu$, ba giữa các thanh là cực kỳ nhỏ.

2. Tìm công thực hiện bởi một mô hình khí lý tưởng trong chu trình $1-2-3-4-1$ (hình 2), nếu nhiệt độ $T_1$ và $T_3$ lần lượt được biết tại các điểm 1 và 3, và các điểm này nằm trên cùng một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

3. Chúng ta sẽ tạo ra đoạn văn bí ẩn nào $R$ sau khi đóng chìa khóa trong mạch hiển thị ở hình 3? Các đại lượng $L, R, \varepsilon$ và $r$ đã được đưa ra.

4. Khi đặt một vật ở vị trí 1 hoặc 2 (hình 4), ống kính sẽ cho ảnh thật của nó với độ phóng đại lần lượt là $\Gamma_1$ hoặc $\Gamma_2$. Tìm độ phóng đại trong trường hợp vật nằm giữa vị trí 1 và 2.

Tùy chọn 2

1. Hai quả bóng nhỏ có khối lượng $m$ và $M$, được nối với nhau bằng một thanh cứng nhẹ có chiều dài $l$ và ở trạng thái cân bằng, như trong hình 5. Không có hệ số ba giữa thanh và phần nhô ra $\mu$, ba giữa quả bóng $m$ và bức tường thẳng đứng. Các tham số $m, M, \mu, l, a$ và $\alpha$ phải thỏa mãn điều kiện nào để có thể đạt được trạng thái cân bằng đã nêu?

2. Tìm hiệu suất của động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình $1-2-3-1$ và $1-3-4-1$, nếu hiệu suất của máy hoạt động theo chu trình $1-2-3-4-1$ bằng $\eta$ (hình 6). Trong mọi trường hợp, khí lý tưởng được sử dụng làm chất lỏng làm việc.

3. Bao nhiêu nhiệt sẽ tỏa ra trong điện trở có điện trở $R$ sau khi đóng công tắc trong mạch như ở hình 7? Các đại lượng $C, R, \varepsilon$ và $r$ đã được đưa ra.

4. Trên trục quang chính của thấu kính lần lượt có các vật $AA_1, BB_1$ và ảnh của chúng $A'A'_1, B'B'_1$ (hình 8). Tìm tỉ số $\gamma = A'B'/AB$ nếu biết $A'A'_1/AA_1 = \Gamma_1$ và $B'B'_1/BB_1 = \Gamma_2$.

Khoa Toán và Cơ học
và Khoa Toán ứng dụng

• vấn đề kiểm soát

Tùy chọn 3

1. Phiên bản đầu tiên của một người quan sát đứng yên ở đầu chiếc xe này, trong thời gian $t_1$, phiên bản cuối cùng - trong $t_2$. Giả sử chuyển động của đoàn tàu cân bằng và chiều dài của các toa xe là như nhau, hãy tìm thời gian chuyển động của một người quan sát toàn bộ đoàn tàu.

2. Một mol khí lý tưởng tham gia vào chu trình $1-2-3-4-1$ (hình 9). Xác định công mà khí thực hiện nếu nhiệt độ của khí ở trạng thái 1 và 3 lần lượt là $T_1$ và $T_3$.