Con số may mắn

72

Con số may mắn

Một ngày nọ ở Princeton, khi đang ngồi rảnh rỗi trong hội trường, tôi nghe một số nhà toán học thảo luận về việc khai triển chuỗi $e^x$:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$$

Số hạng tiếp theo thu được là bao nhiêu nếu chúng ta nhân số trước đó với $x$ và chia cho số của nó:

$$\frac{x^4}{4!} \cdot \frac{x}{5} = \frac{x^5}{5!}$$

• mọi thứ rất đơn giản.

Khi còn thơ ấu, tôi đã hoàn toàn bị cuốn hút bởi ý tưởng về những bản mở rộng như vậy và đã mày mò rất nhiều về bộ truyện. Trong số những thứ khác, tôi đã tính $e$ bằng cách tính tổng chính chuỗi này.

Tôi đã xen vào cuộc trò chuyện và nói rằng rất dễ dàng nâng $e$ lên bất kỳ sức mạnh nào bằng cách sử dụng loạt bài này.

• Tốt? - có người nói ngay (tôi nghĩ đó là Tyyuki*)). - Nào, nó sẽ là bao nhiêu $e^{3,3}$?

• Vui lòng. 27.11.

Tất nhiên, Tyyuki biết rằng việc đếm này không còn dễ dàng nữa.

• Tuy nhiên! Bạn có khỏe không?
• Bạn không biết Feynman à? - một người khác nói. “Anh ta chỉ đang làm rối tung đầu của chúng ta thôi.”

Có người đi lấy bàn, và trong khi họ đang đi,

*) John W. Tyyuki là nhà toán học nổi tiếng người Mỹ, tác giả của những công trình xuất sắc về cấu trúc liên kết và lý thuyết về chủ nghĩa derogonism. (Sau đây là ghi chú của người dịch.)

Tôi nhìn thấy thêm một vài con số: 27.1126.

• Mọi thứ đều đúng!… Nghe này, bạn làm điều này như thế nào?

• Tôi vừa xóa một hàng.

• Đừng tự lừa mình. Bạn không thể sắp xếp mọi việc nhanh chóng như vậy, bạn phải có hội trường trước. Được rồi, $e^3$ là bao nhiêu?

• Nghe này các bạn, có một chút chuyện tốt thôi.

• Vâng! Chúng tôi biết điều đó! - họ có học thức.

• Ừ, cuộc sống là vậy đó. Nó sẽ là 20,085.

Họ đi vào cuốn sách, trong khi đó tôi đưa ra thêm một vài con số. Các chàng trai thở phào nhẹ nhõm vì mọi thứ lại đến với nhau.

Đây là những nhà toán học hiện đại - họ rất ngạc nhiên về cách tôi nâng $e$ lên lũy thừa! Một người trong số họ cuối cùng cũng nói:

• Chuyện này không thể xảy ra được. Đó là một loại thủ thuật. Bạn không thể kết thúc tất cả nhanh chóng như vậy được. Anh ta chắc chắn sẽ không thể nâng nó lên một sức mạnh tùy tiện. Ví dụ: $e^{1,4}$.

• Vâng, càng nhiều càng tốt! Được rồi, đặc biệt là dành cho bạn… 4.05.

Trong khi họ đang loay hoay với cái bàn, tôi nói rõ hơn về con số và tuyên bố: “Hôm nay chỉ vậy thôi!” - và rời đi với vẻ mặt đầy tự hào.

Đây là điều Tôi chỉ sử dụng ba số: thứ nhất, logarit tự nhiên của 10 (cần chuyển logarit thập phân thành logarit tự nhiên), bằng 2,3026 (tư thế $e^{2,3}$ rất gần với 10). Thứ hai, tôi đã mày mò rất nhiều về chu kỳ bán rã và biết rằng ln 2≈0,69315 (vì vậy $e^{0,7}≈2$). Ngoài ra, tôi còn biết chính con số $e: e^1≈2,71828$.

Con số đầu tiên họ đưa cho tôi là $e^{3,3}=e^{2,3}\cdot e^1≈10\cdot e≈27,18$. Tôi đã thực hiện điều chỉnh cho phần thừa

73

không phải 0,0026 và cho họ 27,11.

Tôi đã rất may mắn với con số 3,3. Số tiếp theo là $e^3=e^{2,3} \cdot e^{0,7} \approx 10 \cdot 2$, tức là 20 lẻ. Trong khi họ ngạc nhiên, tôi đã tính đến sự khác biệt 0,7 so với 0,693. Tôi nhận ra rằng lần thứ ba chắc chắn sẽ không thành công: lần thứ hai tôi lại gặp may. Nhưng họ yêu cầu $e^{1,4}=e^{0,7} \cdot e^{0,7}$, tức là 4 với hàng chục!

Thế thôi. Tuy nhiên, các chàng trai không hiểu gì cả.

Hans Bethe*, người cùng làm việc với tôi ở Los Alams, không có ai sánh bằng về môn số học miệng. Một ngày nọ, chúng tôi đang cắm các số vào một công thức dài và gặp phải $48^2$. Tôi với lấy chiếc máy đo đàn cầm và Bethe nói, “Đó là 2300.” Tôi bắt đầu nhấn các nút và anh ấy nói thêm: “Chính xác thì là 2304.” 2304 xuất hiện trên chỉ báo.

• Ồ! Tuyệt vời! - Tôi rất ngạc nhiên.

“Bạn không biết cách bình phương các số gần 50 à?” Bình phương 50 - tức là 2500 - và trừ đi chênh lệch giữa số của bạn và 50 nhân với 100. Chúng ta nhận được 2300. Nếu bạn cần chính xác lắm, hãy cộng bình phương của chênh lệch. Tổng số 2304.

Sau vài phút chúng ta cần căn bậc ba của 2,5. Để tính nghiệm bằng máy đo đàn cầm, trước tiên bạn phải tìm giá trị gần đúng đầu tiên trong bảng. Trước khi kịp lấy các bảng ra khỏi bàn, tôi đã nghe thấy: “Đây là ví dụ về 1,35”.

Máy cộng xác nhận rằng Bethe lại đúng một lần nữa.

• Bạn làm việc này như thế nào? Cái gì, có cách nào nhanh không?

*) Hans A. Bethe là nhà vật lý lý thuyết xuất sắc, đoạt giải Nobel (vì dự đoán chu trình phản ứng nhiệt hạch là nguồn năng lượng cho các ngôi sao).

cách tính căn bậc ba?

• À, logarit của 2,5 là thế này thế kia. Một phần ba của nó nằm giữa logarit của 1,3 (tương tự) và 1,4 (tương tự), và tôi đánh giá cao nó.

Điều này có nghĩa là, thứ nhất, anh ấy nhớ bảng logarit, thứ hai, anh ấy tính toán cho tôi một cách vốn đã rất nhiệt tình. Tôi đã sai.

Tôi quyết định tự mình học điều này, học rất nhiều logarit và bắt đầu nhận thấy nhiều điều. Ví dụ: $28^2$ là bắt buộc. Bạn báo cáo ngay rằng $\sqrt{2} \approx 1,4$ và $28=20 \cdot 1,4$, vì vậy $28^2 \approx 400 \cdot 2=800$.

Nếu nó yêu cầu bạn chia 1 cho 1,73, thì bạn có thể nói ngay rằng nó là 0,577, vì $1,73 \approx \sqrt{3}$, nên $1/1,73 \approx \sqrt{3}/3 \approx 1,73/3$. Và vân vân. (…)

Tôi đã nhận được rất nhiều sự thuận tiện khi thực hiện các phép tính bằng lời nói với Hans. Thỉnh thoảng tôi đã giành được chiến thắng nhờ nhận thấy một số đặc tính tinh tế. Bethe cũng rất vui mừng về những phát hiện này. Bản thân anh ấy thực tế có thể giải bất kỳ bài toán nào với độ chính xác là 1%. Bất kỳ con số nào hóa ra cũng gần với điều gì đó mà anh ấy biết.

Không hiểu sao tôi đang có tâm trạng vui vẻ, và bản thân tôi cũng không biết báo cáo đó, tôi đột nhiên tuyên bố: “Tôi cam kết giải quyết trong 60 giây, với độ chính xác 10%, bất kỳ bài toán nào mà bạn có thể hình thành trong 10 giây.”

Lúc đó đang là giờ nghỉ trưa. Mọi người cạnh tranh với nhau để nghĩ ra thứ mà họ cho là phức tạp bài toán. Ví dụ: tìm một khoảng nhất định từ một hàm ở dạng $1/(1+x^4)$ (hóa ra nó hầu như không thay đổi trong giới hạn đề xuất). Điều khó nhất họ nghĩ ra là tìm hệ số $x^{10}$ trong $(1+x)^{20}$. Tôi đã làm nó trong một phút.

Mọi thứ đang diễn ra tốt đẹp nhất có thể khi Paul Ulam, một người quen cũ của tôi ở Prinoston, người mà lần nào cũng biết tôi, bước vào trong giá lạnh. Ví dụ, một ngày nọ, tôi đang lơ đãng chơi trò roulette có thể thay đổi được - loại có thể tự gập lại thành hộp khi bạn nhấn nút. Trong trường hợp này, phần cuối của cuộn băng mỗi lần đều lớn hơn ngón tay khá nhiều.

“Nghe này, Paul,” tôi nói. “Bạn đã bao giờ nhìn thấy kẻ ngốc nào như vậy chưa? Tôi nhấn nút mười lần và lần nào cũng bị trúng ngón tay.”

“Bạn đang cầm sai rồi,” anh ấy trả lời, lấy thước dây, rút ​​dây ra, nhấn nút và nó đã ẩn đi một cách kỳ diệu.

• Bạn làm điều đó như thế nào?
• Đoán xem!

Tôi dành hai tuần tiếp theo để lang thang khắp Prinoston với chiếc thước dây đó cho đến khi tay tôi sưng tấy hoàn toàn. Cuối cùng tôi đến gặp Paul:

• Tất cả! Tôi sẽ chia sẻ. Làm thế quái nào bạn có thể giữ nó mà không chạm vào ngón tay của bạn?

• Tôi không biết. Cô ấy cũng đưa cho tôi một ngón tay.

Tôi cảm thấy như một thằng ngốc hoàn toàn. Vì anh ta mà tôi bị liệt tay suốt hai tuần!

Vì vậy, anh ta đi vào phòng lạnh và mọi thứ đều đóng cửa:

• Chào Paul! Feynman cho! Chúng tôi nghĩ ra bài toán cho anh ấy và anh ấy giải được tất cả chúng trong một phút với độ chính xác là 10%. Chúng ta hãy thử nó!

Gần như không cần suy nghĩ, anh nói:

— Tiếp tuyến từ $10^{100}$.

Vô vọng: bạn phải làm điều đó theo l với một trăm chữ số có nghĩa! Tôi xong rồi. (…)

74

Trong lần đầu tiên đến Brazil, tôi đã từng ăn trưa ở một nhà hàng. Lúc đó chưa đến giờ ăn trưa (vì lý do nào đó mà tôi luôn đến nhà hàng không đúng lúc), và tôi là khách hàng duy nhất trong số bốn nhân viên văn phòng.

Khi đang phục vụ món bít tết và cơm ưa thích của tôi, tôi thấy một người đàn ông Nhật Bản bước vào nhà hàng. Tôi đã gặp anh ấy trước đây - anh ấy giao dịch tài khoản. Và bây giờ tôi nghe thấy cuộc trò chuyện của anh ấy với các quan chức:

“Bạn cá là tôi có thể cộng hai số nhanh hơn tất cả các bạn?”

Những người phục vụ không muốn mất mặt đã nói:

• Có khách hàng đang ngồi đó, sao bạn không cạnh tranh với anh ta?

• Nhưng tôi không biết tiếng Bồ Đào Nha! - Tôi phẫn nộ.

• Không có gì, con số thì dễ! - họ cười.

Họ mang theo giấy và bút chì. Người Nhật yêu cầu nhân viên văn phòng nêu tên các thuật ngữ. Tất nhiên là anh ấy thắng: trong khi tôi đang viết các con số, anh ấy lập tức nhận được đáp số. Tôi đề nghị họ viết hai danh sách thuật ngữ giống hệt nhau và đưa cho chúng tôi cùng một lúc. Kết quả thay đổi rất ít - anh vẫn đếm nhanh hơn.

Đối thủ của tôi hơi khó chịu và muốn làm cho chiến thắng của mình dễ dàng hơn. “Nhân lên!” - anh ấy nói. Ai đó đã viết cho chúng tôi bài toán để nhân. Anh ấy lại thắng, nhưng không với tỷ số như vậy. Và rồi anh ấy đã phạm sai lầm - anh ấy đề nghị tham gia. Anh ấy không cho rằng bài toán càng khó thì cơ hội của tôi càng cao.

Chúng tôi đã giải được phép chia dài. Nitsya.

Điều này làm anh tức giận. Anh ta là một chủ tài khoản rất thành thạo, và sau đó một số khách truy cập ngẫu nhiên gần như đã thắng!

• Raios cubos! - anh tuyên bố. Rễ hình khối! Anh ấy muốn rút rễ khối lập phương trên bàn tính! Thật khó để nghĩ ra một bài toán phức tạp hơn cho các phương pháp số học. Đây có lẽ là số chữ ký của anh ấy.

Tôi vẫn còn nhớ con số này - 1729.03. Anh bắt đầu đếm với tốc độ đáng báo động, lẩm bẩm một mình. Nó tỏa ra một luồng hơi nước thẳng tắp.

Trong khi đó tôi chỉ ngồi.

• Sao cậu lại ngồi? - một nhân viên văn phòng hỏi.

• Nghĩ! - Tôi trả lời một cách trang trọng. Rồi anh cầm tay viết: 12. Một chút thời tiết tôi được 12.002.

• Mười hai! - đối thủ vừa nói vừa lau mồ hôi trên trán.

• Không đời nào! - tôi nói. Xin số tiếp theo nhé!

Tôi biết rằng với mỗi chữ số liên tiếp, số lượng phép tính số học sẽ tăng lên.

Anh lao đầu vào công việc, còn tôi tính thêm hai dấu hiệu nữa. Cuối cùng anh ấy đã nhận được 12.0.

Những người phục vụ rất thân thiện:

• Xin lưu ý: anh ấy đã tính toán rồi, nhưng bạn cần bàn tính. Và anh ấy đã nhận được nhiều con số hơn!

Đối thủ của tôi bỏ đi, hoàn toàn thất bại và buồn bã. Những người phục vụ chúc mừng nhau.

Chính xác thì chuyện gì đã xảy ra? Con số là 1729,03. Tôi biết có 1728 inch khối trong một foot khối*). Vậy đáp số phải là

*) Inch là đơn vị đo độ dài bội số trong hệ đo lường tiếng Anh. 1 inch=1/12 feet (=0,0254 m).

nhiều hơn 12 một chút. Số vượt quá 1,03 là khoảng 1/2000 của tổng giá trị, và từ phân tích toán học, tôi biết rằng đối với những thay đổi nhỏ như vậy thì sự thay đổi tương đối trong căn bậc ba là 1/3 sự thay đổi tương đối trong đối số của nó. Do đó, phép cộng cho 12 với độ chính xác cao bằng (1/3) · (1,03/1728) × 12. Từ đây tôi rút ra được khá nhiều số liệu có ý nghĩa.

Một tháng sau, tôi tình cờ gặp đối thủ của mình trong cái lạnh lẽo của khách sạn nơi tôi ở. Anh ấy nhận ra tôi, tiến đến và yêu cầu tôi tuân theo, khi tôi quyết định bài toán về căn bậc ba.

Tôi bắt đầu giải thích rằng đây là một phương pháp gần đúng.

— Giả sử chúng ta cần tìm căn bậc ba của 28. Vì 3√27√3…

“Đợi một chút,” anh ấy cầm chiếc bàn tính lên, “… Đúng vậy.”

Tôi thấy rõ ràng là anh ấy không hiểu các con số. Với bàn tính, bạn không cần phải suy nghĩ về bất cứ điều gì: bạn chỉ cần học cách di chuyển quân domino một cách chính xác. (…)

Hơn nữa, ý tưởng về một phương pháp gần đúng đã nằm ngoài tầm hiểu biết của ông. Nhưng trong hầu hết các trường hợp, không thể tính căn bậc ba một cách chính xác. Vì vậy, tôi chưa bao giờ có ý định bắt buộc anh ấy, tôi rất hài lòng và việc anh ấy chọn con số 1729.03 là điều quan trọng.