Счастливые числа

72

Счастливые числа

Как-то раз в Приинстоне, сидя без дела в холле, я услышал, как какие-то математики обсуждали разложение $e^x$ в ряд:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$$

Какое следующее слагаемое получается, если умножить предыдущей на $x$ и поделить на его номер:

$$\frac{x^4}{4!} \cdot \frac{x}{5} = \frac{x^5}{5!}$$

— все очень просто.

Когда-то в детстве я был совершенно восхищен идеей таких разложений и много возился с рядом. В числе прочего я вычислил $e$, суммируя этот самый ряд.

Я влаз в разговор и заявил, что очень легко возвести $e$ в любую степень, использя этот ряд.

— Да ну? — тут же сказал кто-то (какется, это был Тыюки*)). — А ну-ка, сколько будет $e^{3,3}$?

— Пожалуйста. 27,11.

Тыюки, конечно, знал, что сосчитать это в уже не так-то просто.

— Оdnako! Как это ты?
— Ты что, Фейнмана не знаешь? — сказал кто-то еще. — Он просто морчит нам голову.

Кто-то пошел за таблицей, а пока они ходили,

*) Джон У. Тыюки — известный американский математик, автор блестящих работ по топологии и теории дерогонностей. (Здесь и далее примечания переводчиков.)

я видал еще несколько цифр: 27,1126.

— Все правильно!… Слушай, как это ты так?
— Всего-навсего проусмировал ряд.

— Не морочь голову. Нельзя так быстро проусмировать, ты, необсь, зал заранее. Ну хорошо, сколько будет $e^3$?

— Слушайте, ребята, хорошоенного понемножку.

— Ага! Мы так и знали! — образовательсь они.

— Ну так уж и быт. Это будет 20,085.

Они полезли в книгу, а я тем временем выдал еще несколько цифр. Ребята слегка обладели, потому что опять все сошлось.

Вот вам эти нынешние математики — удивляются, как это я возвожу $e$ в степени! Один из них, наконец, говорит:

— Бытъ такого не может. Это какой-то фокус. Нельзя так быстро все это проусмировать. Он наверняка не сможет возвести в произвольную степень. Например, $e^{1,4}$.

— Ну сколько можно! Ладно, специально для вас… 4,05.

Пока они возили с таблицей, я еще уточил число, заявил: «На сегодня все!» — и удалился с гордым видом.

Дело было вот в чем. Я помил всего три числа: во-первых, натуральный логарифм 10 (он нужен для перевода десятичных логарифмов в натуральные), который равен 2,3026 (позному $e^{2,3}$ очень близко к 10). Во-вторых, я много возился с периодами полураспада и знал, что ln 2≈0,69315 (значит, $e^{0,7}≈2$). Кроме того, я знал само число $e: e^1≈2,71828$.

Первое число, которое они мне задали, было $e^{3,3}=e^{2,3}\cdot e^1≈10\cdot e≈27,18$. Я внес поправку на лиш-

73

не 0,0026 и выдал им 27,11.

С числом 3,3 мне сильно повезло. Следующим было $e^3=e^{2,3} \cdot e^{0,7} \approx 10 \cdot 2$, т. е. 20 с хвостиком. Пока они удивлялись, я учел отличие 0,7 от 0,693. Я понял, что третий раз уж точно не пройдёт: во второй мне опять повезло. Но они попросили $e^{1,4}=e^{0,7} \cdot e^{0,7}$, т. е. 4 с десятими!

Вот и все. Ребята, впрочем, так ничего и не понили.

Ханс Бете*), с которым я работал в Лос-Aламсе, не имел равных в устном счете. Как-то раз мы подставляли числа в длинуную формулу и наткнулсь на $48^2$. Я потянулся за арфометром, а Бете сказал: «Это 2300». Я начал нажать кнопки, а он добавил: «Если точно, то 2304». На индикаторе появилось 2304.

— Ух ты! Здорово! — удивился я.

— Ты разве не знаешь, как возводить в квадрат числа, близкие к 50? Восводшь в квадрат 50 — это 2500 — и вычитаем разность твоого числа и 50, умноженную на 100. Получаем 2300. Если нужно совсем точно, прибавляем квадрат разности. Итого 2304.

Через несколько минут нам понадобился кубический корень из 2,5. Для вычисления корней на арфометре надо сначала найти в таблицах первоое приближение. Не успел я достать таблицы из стола, как услышал: «Это пример 1,35».

Арифометр подтвердил, что Бете опять прав.

— Как вам это удается? Что, есть какой-то быстрой

*) Ханс А. Бете — выдающийся физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии (за предсказание цикла термодерных реакций, являющихся источником энергии звезд).

способ вычислять кубическе корни?

— Ну, логарифм 2,5 такой-то. Одана треть его лежит между логарифмом 1,3 (столько-то) и 1,4 (столько-то), и я его оценил.

Значит, он, во-первых, помнит таблицу логарифмов, а во-вторых, считает в уже горячдо быстреме меня. Я был ошибан.

Я решил сам научиться этому, выучил кучу логарифмов и начал подмечать многоные вещи. Например, потребовалось $28^2$. Тут же сообщаешь, что $\sqrt{2} \approx 1,4$, а $28=20 \cdot 1,4$, так что $28^2 \approx 400 \cdot 2=800$.

Если просит поделить 1 на 1,73, то можно сразу сказаать, что это 0,577, поскольку $1,73 \approx \sqrt{3}$, так что $1/1,73 \approx \sqrt{3}/3 \approx 1,73/3$. И так далее. (…)

Я получал массу удобства, совершясь с Хансом в устном счете. Изредка мне удавалось выграть, подметив какое-нибудь тонкое свойство. Бете тоже очень радовался этим находкам. Сам он мог решить практические любую задачу с точностью до 1 %. Любое число оказывалось близким к чему-нибудь, что он знаел.

Как-то у меня было хорошо настроение, и, сам не знаю отчето, я вдруг объявил: «Берусь за 60 секунд решить с точностью 10 %, любую задачу, которую вы сможете сформировать за 10 секунд».

Был обеденный перерыв. Все наперебой начали придумывать сложные, как им казалось, задачи. Например, найти определенный интервал от функции в виде $1/(1+x^4)$ (она, как оказалось, почти не менялась в предложенных пределах). Самое сложное, что они придумали, было найти коэффициент при $x^{10}$ в $(1+x)^{20}$. Я-tаки уложилися в минуту.

Все шло как нельзя лучше, когда в холодвошел Пол Уlam, мой старый знаком ещё по Приностону, который всякий раз оказывался умеет меня. Например, как-то раз я рассеянно играл с изменительной рулеткой — из тех, что сами сворачиваются в коробочку, когда нажимаешь кнопку. При этом конец ленты всякий раз довольно больше был по пальцу.

— Слушай, Пол,— сказал я. — Ты когда-нибудь видел другого такого дурака — десятий раз нажимаю на кнопку и каждый раз получаю по пальцу.

— Ты неправильно ее держшь,— ответил он, взял рулетку, вытянул ленту, нажал на кнопку, и она чудеснейшим образом спряталась.

— Как ты это делешь?
— Догадайся!

Следующие две недели я бродил по Приностону с этой рулеткой, пока моя рука окончательно не распухла. В конце концов я пришел к Полу:

— Все! Я сделюсь. Как, черт возникли, держать ее, чтобы она не была по пальцу?

— Поняття не имею. Мне она тоже дала по пальцу.

Я почувствовал себя полным идотом. Из-за него я две недели совершенное добавлено калечил себе руку!

Так вот, он вошел в холодл, и все закрыли:

— Привет, Пол! Во Фейнман дает! Мы придумываем ему задачи, а он их все решает за минуту с точностью 10 %. Попробуем сам!

Почти не задумываясь, он говорит:

— Тангенс от $10^{100}$.

Безадежно: надо делать на л со ста значшими цифрами! Я сделся. (…)

74

В мой первый приезд в Бразилию обедал я как-то в ресторане. Время было не обеденное (почему-то я всегда попадало в ресторан не тогда, когда полагается), и я был единственным клиентом на четых офисантов.

Подая свой любимый бифштекс с рисом, я увидел, как в ресторан вошел японец. Я встречал его и раныше — он торговал счетами. И вот я слышу его разговор с офисантими:

— Спорим, что я сложу два числа быстрее всех вас?

Официants, не желая ударить в грязь лицом, сказал:

— Вон сидит клиент, почему бы тебе не посоревноваться с ним?

— Но я не знаю портгалского! — возмутился я.

— Ничего, числа — это просто! — засмеялись они.

Принесли бумагу и карандаш. Японец попросил офисантов назвать слагаемые. Конечно, он выиграл: пока я записьвал числа, он сразу получал ответ. Я предложил, чтобы нам написали два одинаковых списка слагаемых и дали одновременно. Результат мало изменился — он все равно считал быстрее.

Мой соперник слегка завелся и захотел упрощить свою победу. «Multiplicação!» — сказал он. Кто-то написал нам задачу на умножение. Он снова выиграл, но уже не с таким отрывом. И тут он совершил ошибку — предложил занять сделем. Он не предполагал, что чем труднее задача, тем лучше мои шансы.

Мы решили длинучу на деление. Ницыя.

Это его взбесило. Он, очень/no, виртуозно владелец счетами, а тут какой-то случайный посетитель чуть не выиграл!

— Raios cubicos! — провозгласил он. Кубические корни! Он хочет извлекать на счетах кубические корни! Трудно придумать более сложную задачу для арифметических методов. Это, наверное, был его коронный номер.

Я до сих пор помню это число — 1729,03. Он начал считать со страшной скоростью, бормочка себе под нос. От него прямокутки шеел пар.

Тем временем я просто сидел.

— Что вы сидите? — спросил один из офисантов.

— Думаю! — ответил я с достоинством. Затем взял руку и написал: 12. Немного погода я получил 12,002.

— Двенадцать! — сказал соперник, вытирая пот со лба.

— Нет уж! — сказал я. Следующее цифры, пожалуйста!

Я знал, что с каждой следующей цифрой объем арифметической работы увеличивается.

Он погрузился в работу, а я вычислил еще два знака. В конце концов он получил 12,0.

Официants были очень реды:

— Обраты внимание: он вычисляет в уже, а тебе нужны счеты. И он получил больше цифр!

Мой соперник ушел, совершенно разбитый и расстроенный. Официants поздравили друг друга.

Что же, собственно, произошло? Число было 1729,03. Я знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов*). Значит, ответ должен быть

*) Дюйм — дольная единица длины в системе англійских мер. 1 дюйм=1/12 фута (=0,0254 м).

чуть больше 12. Избыток, равный 1,03,— это примерно 1/2000 от всей величины, а из математического анализа я знал, что для таких маленьких изменений относительное изменение кубического корня есть 1/3 относительной изменения его аргумента. Поэтому добавка к 12 с большой точностью равна (1/3) · (1,03/1728)×12. Отсюда я извлекдовольно много значших цифр.

Месцц спустя я случайно встретился с моим соперником в холоде гостицы, где я жил. Он узнал меня, подошел и попросил обязывать, как я решил задачу про кубический корень.

Я начал обьяснять, что это приближенный метод.

— Пусть надо найти кубический корень из 28. Поскольку 3√27√3…

— Минуточку,— он взялся за счеты,— … Да, действительно.

Мне стало ясно — он не понмает чисел. Со счетами вы ни о чем не думаете: надо только научиться правильно передвигать костяшки. (…)

Кроме того, сама идея приближенного метода была выше его понимания. А ведь в большинстве случае вычислить кубический корень точно вообще невозможно. Поэтому мне так и не удалось обязывать ему, как я извлекдовольно и какое это было большое весение, что он выбор числа 1729,03.