Биссектрисы, вписанная и вневписанные окружности треугольника

40

Биссектрисы, вписанная и внешисанные окружности треугольника

Как известно, биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — в центре вписанной окружности. Но мало кто знает, что радиус r вписанной окружности связаан с высотами треугольника соотношениям
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}.$$

Биссектриса угла A треугольника делит противоположную сторону на отрезки $$\frac{ab}{b+c}$$ и $$\frac{ac}{b+c}$$, которые относятся как приложение к ним стороны треугольника b и c. Сама же биссектриса делится точкой O пересечения биссектрис в отношении $(b+c):a$.

Длина биссектрисы, проведенной из вершины A, равна $$\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c},$$ а расстояние от точки A до центра вписанной окружности равно $$\sqrt{\frac{(p-a)bc}{p}},$$ где p — полуперimetр треугольника.

Нетрудно с помощью циркуля и линейки построить треугольник по его сторонам. Чуть труднее сделать это по медиам или по высотам. А построить треугольник по биссектрикам (в общем случае) невозможно.

Если проведится все три биссектрисы внешних углов треугольника, то образуется три точки их пересечения, каждая из которых одинаково отстотит от прямых, на которых лежат стороны данного треугольника. Поэтому можно проведити окружность с центром в такой точке, касающийся всех сторонам треугольника или их продолжей. Такие окружности называются внешисанными.

Сумма величины радиусам $\rho_a$, $\rho_b$ и $\rho_c$ внешисанных окружностей, равна обратной величины радиуса вписанной в этот треугольник окружности:
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{\rho_a} + \frac{1}{\rho_b} + \frac{1}{\rho_c}.$$

Приведем два изящных выражения для площади треугольника через радиусы вписанной и внешисанных окружностей:
$$S = \sqrt{r\rho_a\rho_b\rho_c},$$
$$S = \frac{a\rho_b\rho_c}{\rho_b + \rho_c}.$$

41

Прямы в треугольнике, соединяющие его вершины с точками касания внешних окружностей, пересекаются в одной точке, которая называется точкой Нагеля в честь открывшего ее немецкого математика Августа Нагеля (1821—1903).

Если проведи окружность через основания высот данного треугольника, то она будет проходить через середины сторона этого треугольника и через середины отрезков высот треугольника от точки их пересечения до вершин. Такая окружность называется окружностью девяты точки. Окружность девяты точки касается внешней окружностью этого треугольника.

Любопытно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами внешних окружностей, делятся пополам окружностью, описанной во круглого треугольника.

Легко доказать, что у равнобедренного треугольника равны медианы, высоты и биссектрисы, выхождения из концов основания. Не на много труднее доказать, что если две высоты или две медианы треугольника равны, то треугольник — равнобедренный. Верно такое утверждение и для биссектрис, но его доказательство довольно сложно. Само это утверждение носит название «теорема Штейнера — Лемуса».

41