Заочная школа при НГУ

69

Заочная школа при НГУ

При Новосибирском ордена Трудового Красного Замени государственном университете им. Ленинского комсомола работает Заочная школа (3Ш) для учащихся 8—10 классов общеобразовательных школ Сибири, Дальнего Востока, Средней Азии и Урала.

Основная задача 3Ш — оказывать помощь в формировании и развитию у учащся интересса к естественным наукам.

В 3Ш пять отделений: математические, физические, химические, биологические и экономические. На математические, физические и химические отделения принимаются учащся 8—10 классов, на биологическое — только учащся 9 классов, на экономические — только учащся 10 классов.

Кроме отделных учащся, в 3Ш могут быть приняты также математические, физические, химические, биологические и экономические кружки и факультативы, которые работают в школе под руководством учитель. Руководители кружков набирают и зачисляют в них учащся, успешно выполнивших первоое задание по соответствующему предмету. Кружок принимается в 3Ш, если руководитель сообщает в 3Ш свою фамилию, имя, отчество и высылает помененный список ключов кружка (с указанием итогов оценок за период задание), подписанный директором школа и заверенный печать. После этого окончание артель осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; другая половина кружала малый лугу, на котором к вечеру еще остался учаток, скопенный один косом за один день работы. Сколько косов было в артели?

2. На координатной плоскости изображено точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству

$$y + |x| \geq x^2.$$

3. Найдите две последние цифры числа $19^{89} + 81^{89}$.

4. Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями $a$ и $b$ проведен отрезок, параллельный основаниям, с концами на боковых сторонах трапеции. Найдите его длину.

5. Найдите количество решений уравнения

$$x + y + z = 99$$

в целях неотрицательных числа. В тех случаях, когда число желающих учиться в 3ШPrevышает возможность нашей школи, предоптение может быть отдано школьникам из малых городов и поселков.

Руководитель кружка должен прислать на имя директора 3Ш письмо с просьбой выслать первое задание и дополнительные материалы к нему.

Заявление о приеме на математические или на физические отделение 3Ш можно выслать вместе с решениями соответствующего первоого задания, публикуемого ниже, но не позднее 10 октября.

Решение задачи запишите в простую ученческую терраду в клетку, оставив поля для замечаний преподавателя. На обложке терради укажите те же сведения о себе, что и в заявлении. Работы отслежите вместе с заявлением только простой бандеролью (третье не перегибайте и не сворачийте в трубку). В третье с решениями выслать листок размером $6 \times 10$ см с написанным на нем вашим адресом (его наклей на конверт, когда будут отыты ответ).

70

6. Точка движется по гипотенузе прямогольного треугольника. При каком ее положении расстояние между основаниями перпендикулов, опущенных из нее на катеты, будет наименьшим?

9 класс

1. Все натуральные числа выписаны одно за другим в ряд:
   012345678910111213…
   Какая цифра стоит в этой последовательности на 1989-м месте?

2. На координатной плоскости изображите множество точек $(x, y)$, для которых
   $$[x]+[y]=0$$
   ([a] — целая часть числа $a$, т. е. наибольшее целое число, не превышает ее $a$; например, $[-1,1]=-2$; $[3]=3$).

3. Действительные числа $a, b, c, d$ таковы, что
   $$a+b=c+d; a^2+b^2=c^2+d^2.$$

Докажите, что
$$a^3+b^3=c^3+d^3.$$

4. Основания трапеции равны $a$ и $b$. Прямая, параллельная основаниям, делит ее на две равновеликие части. Найдите длину отрезка, высекаемого на прямой боковым сторонами трапеции.

5. Имеется 1988 г. гирь массой в 1 г, 2 г, 3 г, …, 1988 г. Можно ли разложить их на две кучки равной массы? А на четые кучки?

6. На плоскости задны три параллельные прямые. С помощью циркуля и линейки построите квадрат, три из вершин которого лежат на этих прямых.

10 класс

1. Докажите, что при любом целом $n$ число
   $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$$
   является квадратом целого числа.

2. На координатной плоскости изображите множество точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют неравенству
   $$x^2+y^2\leq 4x.$$

3. Три вершины квадрата лежат на трех заданных параллельных прямых. Определите, где может находиться четвертая вершина.

4. Исследуйте функцию
   $$y=x^3-2x.$$

5. Из чисел 1, 2, …, 100 выбрано 51 различное число. Докажите, что среди них обязаельно найти два числа, разность которых равна 2.

Рис. 1.

6. Основание равноведренного треугольника равно $a$, угол при вершине — $36^\circ$. Не используется трионометрических функций, выразите длину его боковой стороны.

Первое задание по физике

Поскольку имеются задчи различной степени сложности, для построения на физической отделение 3Ш может оказаться достаточно правильно решить одну — две задчи.

Одноко после разбора задач своего класса полезно (и мы вам рекомендуем) ознакомиться с задачими для других классов, а понравившиеся задачи — попробовать решить (чем больше, тем лучше).

Экспериментальная задача — одна для построения во все классы.

Измерьте, придумав соответствующий способ, ширину звуковой дорогки на грампластинке.

Теоретические задчи

8 класс

1. В стакан, площadbна которая $S$, наlintа вода. Плотность воды $q$. В воду кладут кусочек льда массой $m$. Вода при этом не выливается, кусочек льда плавает. Найдите изменение уровня воды в стакане. Что будет с уровнем воды, когда лед растет?

2. На рисунке 1 изображен участок электрической цепи, по которой течение выделяемое на трех резисторах сопротивлением $r$ каждый, меньше количество теплых выделяемого на резисторе сопротивлением $R$?

3. В жидкосте плотностью $q$ плавает наполовину погруженной в нее стакан, высота которая $H$ (рис. 2). В сосуд наличии еще одну жидкость, не смешивающегося с первой. Когда ее слой на поверхности первой жидкости достигает толщины $2/3 H$, она доходит до верхней кормки стакана. Определите плотность этой жидкости. Сечение стакана $S$.

4. В нагревале объемом $V$ вода нагревается от температуры $T_0$ до температуры $T_1$ за время $t$. Какова будет температура воды на выход из нагревале, если ее прокачивается с объемным расходом $Q$? Temperatura воды на вход $T_0$.

9 класс

1. Модель ракеты взлетает вертикально в верхние сускорением $a$. Люди, стоящие у места старта, условия выключение движения через время $t$ после старта. Считая скорость звука в воздухе равной $c$, определите скорость модели в момент выключения движения.

Рис. 2.