Задачи

43

Задания

1. Как-то раз знаменитый индийский математик Рамануджан ехал в автомобилье со своим английским другом математиком Харди. «Вы говорите, что не бывает не замечательных чисел,— сказал Харди.— А вот номер моей машины, 1729,— ничего не замечательное число.» «Что Вы,— воскликнул Рамануджан,— это же наименьшее число, которое представляется в виде суммы кубов двух натуральных чисел двумя различными способами!» Найдите оба эти представления.

2. На лесной поляне собрались друзья: Попугай, Удав, Слоненок, Теленок, Котенок, Мартышка и Верблюжонок. Попугай начал всех мерить. Окзадось, что Слоненок длинее Теленка на 3 Попугая, Верблюжонок длинее Мартышки тоже на 3 Попугая, Теленок длинее Попугая на 7 Попугаев, Верблюжонок длинее Котенка на 6 Попугаев, а все они укладываются в точности на Удаве, длина которого 38 Попугаев. Выразите длины друзей в Попугаях.

3. Проверьте, что

$$\frac{19^3 - 70^3}{19^3 + 89^3} = \frac{19 - 70}{19 + 89}.$$

И вообще $\frac{a^3 - b^3}{a^3 + c^3} = \frac{a - b}{a + c}$, если $c = a + b$.

4. Когда Петя разбил свою копилку, в ней оказалось 16 медных монет. Он разложил их на 4 кучки по 4 монеты так, чтобы денег в каждой кучке было поровну. Тут он заметил, что наборы монет во всех кучках разные. Сколько денег было в копилке?

5. Разрежьте одинаковым образом каждую из двух одинаковых фигур (см. рисунок) на 4 части так, чтобы из полученных восьми кусков можно было сложить одну подобную им фигуру вдвое большей площади.

Эти задания нам предложили: А. П. Савин, М. В. Улановский, ученик 10 класса шкалы № 149 г. Харькова С. А. Ляшенко, А. И. Демидов, Л. П. Мочалов.