Bài toán M1191—M1195; F1198—F1202

23

Bài tập
M1191 — M1195, F1198 — F1202

M1191. Giả sử $A_1, A_2, A_3, \dots$ là một dãy điểm nhất định trên mặt phẳng. Bắt đầu từ điểm neokota $T_0$, chúng ta xây dựng chuỗi $T_1, T_2, T_3, \dots$, trong đó $T_n$ là một điểm đối xứng với $T_{n-1}$ so với $A_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$).

Chuỗi $A_n$ phải thỏa mãn những điều kiện cần và đủ nào để chuỗi $T_n$ tuần hoàn đối với bất kỳ lựa chọn điểm $T_0$ nào (tức là $T_{n+p}=T_n$ đối với một số $p$ đối với tất cả $n$)?

I. F. Akulich

M1192. Được biết, tất cả các cạnh của khối đa diện $M$ đều bằng nhau và chạm vào một quả bóng nhất định.
a) Cho một trong các mặt $M$ có số cạnh lẻ. Chứng minh rằng tồn tại một quả cầu ngoại tiếp $M$.
b) Có nhất thiết phải theo các điều kiện ở a) quả bóng được viết bằng $M$ tồn tại không?
b) Cho tất cả các mặt $M$ có cùng số cạnh. Chứng minh rằng tồn tại một quả bóng được viết bằng $M$.
d) Theo các điều kiện ở điểm b) có cần thiết phải tồn tại một quả bóng viết không?

V. A. Senderov

M1193*. Chứng minh (với mọi số $a, b, c, x, y, z$) bất đẳng thức
$$ax + by + cz + \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)} \geq \frac{2}{3}(a + b + c)(x + y + z).$$
V. Curtoaje (Romania)

M1194. a) Từ điểm $M$ bên trong hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $S$, vẽ các đường phân giác $ME, MF, MG, MH$ của tam giác $AMB, BMC, CMD, DMA$. Chứng minh rằng diện tích $S_0$ của tứ giác $EFGH$ thỏa mãn các bất đẳng thức sau:
$$\frac{3}{8}S < S_0 \leq \frac{1}{2}S.$$
b) Đối với những điểm như vậy $M$ đẳng thức $S_0 = S/2$ có đúng không?
A. A. Azamov

M1195. Trình tự $x_1, x_2, \dots$ sao cho mọi số tự nhiên $m$ và $n$
$$|x_{m+n} - x_m - x_n| < 1/(m+n).$$
Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số cộng.
O. T. Izhboldin

F1198. Một ống có bán kính $R$ được đổ đầy cát đến độ cao $H(H > 200R)$. Mật độ cát $q$. Tìm lực ép tối thiểu của cát tác dụng lên đáy ống. Được biết, đây

24

nước trên bề mặt nằm ngang tạo thành một ngọn đồi có góc giới hạn ở chân $\gamma_0$ (hình 1), và góc này nhỏ ($\gamma_0 \sim 0,1$ rad). Hệ số ma sát tĩnh giữa cát và vật liệu bằng $\mu$.

A. N. Semenov

F1199. Theo kinh nghiệm, người ta biết rằng tốc độ của sóng trên bề mặt đại dương, có chiều dài $\lambda = 10$ m, bằng $v = 4$ m/s. Giả sử rằng trong đại dương ở độ sâu lớn có một mặt phân giới, phía trên có ít nước mặn hơn và phía dưới có nhiều nước mặn hơn, sao cho chênh lệch mật độ của nước là $\Delta \rho = 1$ kg/m$^3$. Có thể có sóng dọc theo ranh giới này (gọi là sóng nội bộ). Tìm tốc độ của sóng có chiều dài $\lambda = 10$ m. Coi biên độ của sóng là nhỏ.

V. V. Geojavev

F1200. Có hai chiếc ly giống hệt nhau trên bàn, một trong số đó đựng trà nóng. Nhiệt độ trà $t_0$. Trà cần được làm nguội đến nhiệt độ $t_k$. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách:

1. ngay lập tức rót trà vào ly thứ hai và đợi cho đến khi trà nguội đến nhiệt độ $t_k$;
2. đợi cho đến khi trà nguội đến một nhiệt độ nhất định $t_1$ sao cho sau khi rót vào ly thứ hai, nhiệt độ của trà ngay lập tức trở thành $t_k$.

Cách nào là nhanh nhất? Được biết, độ truyền nhiệt của kính với vật nào đó tỉ lệ thuận với độ chênh lệch nhiệt độ giữa kính và môi trường; sự trao đổi nhiệt giữa tấm kính và tấm kính diễn ra rất nhanh. Nhiệt dung của ly là $C_0$, nhiệt dung của trà là $C$.

K. S. Vedoye

F1201. Có một thiết bị điện tử phi tuyến $\tilde{R}$. hình 2 hiển thị biểu đồ về sự phụ thuộc của dòng điện qua thiết bị với điện áp trên nó (ở phần 1-2 và 3-4 độ chồng chéo của biểu đồ là rất lớn). Các trạng thái được tập hợp từ $\tilde{R}$, một cuộn dây có độ tự cảm $L$ và pin có emf bằng $U_0$ (thiết bị được bật với cực “đúng” tương ứng với biểu đồ). Vẽ đồ thị cường độ dòng điện trong mạch theo thời gian và tìm chu kỳ dao động của dòng điện.

K. S. Vedoye

F1202. Trong quá trình phóng điện ở neon loãng (Ne) ở nhiệt độ phòng, một phần rất nhỏ nguyên tử neon phân hủy thành electron và ion (khối lượng của $M$ nguyên tử neon gấp $4 \cdot 10^4$ lần khối lượng của $m$ electron). Độ dài đường đi tự do của các electron (tức là khoảng cách trung bình mà một electron di chuyển mà không va chạm) là $l = 0,1$ mm. Chất khí nằm trong điện trường có hiệu điện thế $E = 10$ V/cm. Hãy ước tính “nhiệt độ” của các electron tương ứng với động năng trung bình của chúng. Hằng số lớn $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ J/K, điện tích electron $e = -1,6 \cdot 10^{-19}$ Cl.

D. A. Kuptsov