Sàn gỗ làm từ hình tứ giác

57

Sàn gỗ làm từ hình tứ giác

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
V. G. BOLTYANSKY

Tại Olympic Toán học VI Moscow (năm 1940), bài toán sau đây đã được đề xuất: đặt một tấm gỗ với hình tứ giác có hình dạng tùy ý này, tức là lấp đầy toàn bộ mặt phẳng không có khoảng trống và chồng lên nhau. Lời giải nó có thể thu được bằng cách sử dụng tính đối xứng trung tâm. Cho tứ giác ABCD đối xứng qua điểm giữa cạnh AB. Trên hình 1, ​​tứ giác ban đầu được đặt với số 1 và tứ giác đối xứng với số 2. Bây giờ, chúng ta phản ánh tứ giác 2 đối xứng với tâm cạnh BC của nó và tứ giác thu được 3 - so với giữa cạnh CD của nó. Các tứ giác 1, 2, 3, 4 kề với đỉnh chung các góc A, B, C, D. Và vì tổng các góc của một tứ giác là 360° nên bốn tứ giác này sẽ nằm xung quanh đỉnh chung của chúng không có khoảng trống và chồng lên nhau. Việc xây dựng tương tự có thể được thực hiện xung quanh mỗi đỉnh của mỗi hình tứ giác mới của nó, tạo ra sàn gỗ trên toàn bộ mặt phẳng (hình 2).

Hãy viền các hình tứ giác bằng hai màu (hình 3). Trong một sàn gỗ được sơn theo cách này, hai hình tứ giác cùng màu thu được từ nhau bằng cách chuyển song song và hai hình tứ giác cùng màu.

Hình 1.

58

Tứ giác có màu sắc khác nhau - đối xứng trung tâm. Lưu ý rằng tứ giác ban đầu cũng có thể không lồi—trong trường hợp này cũng thu được một sàn gỗ (hình 4).

Sàn gỗ được xây dựng cho phép chúng ta giải chuỗi bài toán liên quan đến tính chất của tứ giác. Lời giải của mỗi bài toán được xem xét dưới đây có thể được trình bày mà không cần sử dụng sàn gỗ: chỉ xem xét những hình tứ giác cần thiết cho lời giải và các “dấu vết” còn lại là sàn gỗ. Tuy nhiên, lời giải của chúng tôi sử dụng sàn gỗ.

Bài toán 1. Hai hình tứ giác lồi giống hệt nhau được làm từ giấy. Một cái được cắt dọc theo một đường chéo, cái thứ hai - dọc theo đường chéo kia. Chứng minh rằng bốn tam giác thu được có thể dùng để tạo thành hình bình hành.

Lời giải của bài toán này trở nên rất mịn khi làm phẳng sàn gỗ được hiển thị trên trang đầu tiên của trang bìa.

Bài toán 2. Trong một tứ giác lồi, các đường trung tuyến được vẽ, tức là các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện. Chứng minh rằng bốn phần thu được có thể dùng để tạo thành hình bình hành.

Lời giải. Tại hình 5, mảnh sàn gỗ được chia thành các phần theo đường tâm (đường tâm MN và NP nằm trên cùng một đường thẳng, vì chúng đối xứng qua điểm N; điều tương tự cũng áp dụng cho các đường tâm khác). Phần m, n, p, q tạo thành

59

một trong các hình tứ giác bằng gỗ và các phần bằng nhau $m, n', p', q'$ của chúng tạo thành hình bình hành.

Bài toán 3. Chứng minh rằng nếu đường trung điểm nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác bằng nửa tổng hai cạnh đối diện còn lại thì tứ giác này là hình thang (hoặc hình bình hành).

Lời giải. Trên hình 6 $MN$ và $NP$ là các đường ở giữa; các đoạn $AQ$ và $MP$ bằng nhau và song song (vì $AM$ và $QP$ bằng nhau và song song). Nếu $MN = \frac{1}{2}(AB+CD)$, tức là $AQ=MP = AB+BQ$, thì điểm $B$ thuộc đoạn $AQ$. Do đó, $AB \parallel CD$, tức là $ABCD$, là một hình thang.

Bài toán 4. Ở Babylon cổ đại, để tính diện tích của bốn-

Hình 6.

Hình 8.

tam giác $ABCD$ biến của tổng nửa cạnh đối diện:

$$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot \frac{AD+BC}{2}.$$

Chứng minh rằng cách tính diện tích này chỉ cho kết quả đúng trong trường hợp hình chữ nhật.

Lời giải. Trên hình, 7 hình tứ giác tạo thành một hình bằng hình bình hành $AMNP$ (điều này suy ra từ thực tế là $\triangle AMB = \triangle PNQ$ và $\triangle MEN = \triangle ADP$). Kế tiếp,

$$AB+CD = AB+BM \geq AM,$$

$$AD+BC = AD+DP \geq AP.$$

Bây giờ giả sử tứ giác $ABCD$ không phải là hình bình hành, tức là ít nhất một trong các điểm $B, D$ không nằm trên đường viền của hình bình hành $AMNP$. Khi đó trong (2) ít nhất một trong các bất đẳng thức là nghiêm ngặt, và do đó phần bên phải trong (1) lớn hơn một phần tư hình bình hành $AMNP$, tức là lớn hơn $S$. Vì vậy, công thức (1) phụ thuộc là sai nếu $ABCD$ không phải là hình bình hành. Đối với hình bình hành không phải là đường thẳng, công thức (1), rất/không, cũng sai.

Bài toán 5. Hai đường thẳng vẽ hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi thành ba phần bằng nhau và các đường thẳng này không cắt nhau bên trong tứ giác. Chứng minh rằng giữa các đường thẳng này có một phần ba diện tích của tứ giác.