Паркет из четырёхугольников

57

Паркет из четырехугольников

Доктор физико-математических наук
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

На VI Московской математической олимпiadе (в 1940 году) предлагалась такая задача: данным четырехугольником произвольной формы насталять паркет, т. е. заполнить всю плоскость без пропусков и перекрытый. Решение ее можно получить с помощью центральной симметрии. Отразим четырехугольник ABCD симметрично относительно середины стороны AB. На рисунке 1 исходный четырехугольник помещен цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны BC, а полученный четырехугольник 3 — относительно середины его стороны CD. Четырехугольники 1, 2, 3, 4 примыкают к их общей вершине углами A, B, C, D. А так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то эти четыре четырехугольника расположются вокруг их общей вершины без пропусков и перекрытый. Такое же построение можно проведити вокруг каждой вершины каждой его новых четырехугольников, что и дает паркет на всей плоскости (рис. 2).

Закраим четырехугольники в два цвета (рис. 3). В раскрашенном таким образом паркете два четырехугольника одного цвета получаются друг из друга параллельным переносом, а два

Рис. 1.

58

Четырехугольника разных цветов — центральной симметрией. Заметим, что исходный четырехугольник может быть и невыпukлым — паркет получается и в этом случае (рис. 4).

Построенные паркеты позволяют решить ряд задач, связанных со свойством четырехугольников. Решение каждой из рассматриваемых ниже задач можно изложить без использования паркета: рассмотреть только те четырехугольники, которые нужны для решения, а остальные «следы» паркетастеры. Однако наши решения с помощью паркета.

Задача 1. Из бумаги изготовили два одинаковых выпukлы четырехугольника. Один разрезали по одной диагонали, второй — по другой. Доказите, что из четырех полученных треугольников можно составить параллелограмм.

Решение этой задачи становится оченьным при разгладывании паркета, изображенного на первой странице обложки.

Задача 2. В выпukлом четырехугольнике проведены средние линии, т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Доказите, что из получшихся четырех частей можно составить параллелограмм.

Решение. На рисунке 5 фрагмент паркета разделен на части средними линиями (средние линии MN и NP лежат на одной прямой, так как они симметрины относительно точки N; то же относится и к другим средним линиям). Части m, n, p, q составляют

59

один из четырехугольников паркета, а равные им части $m, n', p', q'$ составляют параллелограмм.

Задача 3. Докажите, что если средняя линия, соединяющая середины двух противоположных сторон четырехугольника, равна полусумме двух других противоположных сторон, то этот четырехугольник — трапеция (или параллелограмм).

Решение. На рисунке 6 $MN$ и $NP$ — средние линии; отрезки $AQ$ и $MP$ равны и параллельны (поскольку $AM$ и $QP$ равны и параллельны). Если $MN = \frac{1}{2}(AB+CD)$, т. е. $AQ=MP = AB+BQ$, то точка $B$ принадлежит отрезку $AQ$. Следовательно, $AB \parallel CD$, т. е. $ABCD$ — трапеция.

Задача 4. В древнем Вавилоне для вычисления площади четырех-

Рис. 6.

Рис. 8.

угольника $ABCD$ переменная полусуммы противоположных сторон:

$$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot \frac{AD+BC}{2}.$$

Докажите, что такой способ вычисления площади приводит к правильному результату только в случае прямоугольника.

Решение. На рисунке 7 четырехшенных четырехугольника составляют фигуру, равновелику параллелограмму $AMNP$ (это вытекает из того, что $\triangle AMB = \triangle PNQ$ и $\triangle MEN = \triangle ADP$). Далее,

$$AB+CD = AB+BM \geq AM,$$

$$AD+BC = AD+DP \geq AP.$$

Пусть теперь четырехугольник $ABCD$ не является параллелограммом, т. е. хотя бы одна из точек $B, D$ не лежит на контуре параллелограмма $AMNP$. Тогда в (2) хотя бы одно из неравенств — строгое, и потому права часть в (1) больше одной четверти параллелограмма $AMNP$, т. е. больше $S$. Итак, формула (1) зависит неверна, если $ABCD$ — не параллелограмм. Для параллелограмма, не являющегося прямойкомом, формула (1), очень/no, также неверна.

Задача 5. Проведены две прямые, делящие две противоположные стороны выпуклого четырехугольника на три равные части, причем внутри четырехугольника эти прямые не пересекаются. Докажите, что между этими прямыми заключена третья часть площади четырехугольника.