Задачи М1191—М1195; Ф1198—Ф1202

23

Задание
M1191 — M1195, Ф1198 — Ф1202

M1191. Пусть $A_1, A_2, A_3, \dots$ — неокоторая последовательность точек на плоскости. Начав с неокотой точки $T_0$, построим последовательность $T_1, T_2, T_3, \dots$, где $T_n$ — точка, симметричная $T_{n-1}$ относительно $A_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$).

Каким необходимо и достаточно условия должны удовлетворять последовательность $A_n$, чтобы последовательность $T_n$ получалась периодической при любом выборе точки $T_0$ (т. е. $T_{n+p}=T_n$ для неокотого $p$ при всех $n$)?

И. Ф. Акулич

M1192. Известно, что все ребра многогранника $M$ равны между собой и касаются неокотого шара.
a) Пусть одна из граней $M$ имеет нечетное число сторон. Докажите, что существует описанный вокруг $M$ шар.
b) Обязательно ли при условиях пункт a) существуетписанный в $M$ шар?
b) Пусть все грани $M$ имеют одинаковое число сторон. Докажите, что существуетписанный в $M$ шар.
г) Обязательно ли при условиях пункт b) существуетписанный шар?

В. А. Сендеров

M1193*. Докажите (для любых чисел $a, b, c, x, y, z$) неравенство
$$ax + by + cz + \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)} \geq \frac{2}{3}(a + b + c)(x + y + z).$$
В. Кыртоаже (Румыния)

M1194. a) Из точки $M$ внутри прямогольника $ABCD$ площади $S$ проводятся биссектрисы $ME, MF, MG, MH$ треугольников $AMB, BMC, CMD, DMA$. Докажите, что для площади $S_0$ четырехугольника $EFGH$ выполнен неравенства
$$\frac{3}{8}S < S_0 \leq \frac{1}{2}S.$$
б) Для таких точки $M$ выполняется равенство $S_0 = S/2$?
А. А. Азамов

M1195. Последовательность $x_1, x_2, \dots$ такова, что для любых натуральных $m$ и $n$
$$|x_{m+n} - x_m - x_n| < 1/(m+n).$$
Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.
О. Т. Ижболдин

Ф1198. Труба радиусом $R$ заполнена песком до высоты $H(H > 200R)$. Плотность песка $q$. Найти минимальную силу давления песка на дно трубы. Известно, что этот пе

24

сок на горизонтальной поверхности образует горку с предельным углом при основании $\gamma_0$ (рис. 1), причем этот угол мал ($\gamma_0 \sim 0,1$ рад). Коэффициент треня покоя песка о материал труды равен $\mu$.

А. Н. Семенов

Ф1199. Из опыта известно, что скорость волн на поверхности океана, длина которых $\lambda = 10$ м, равна $v = 4$ м/с. Предположим, что в океане на большой глубине есть граница раздела, выше которой находится менее соленая вода, а ниже — более соленая, так что разность плотностей воды $\Delta \rho = 1$ кг/м$^3$. По этой границе могут быть волны (так называемые внутренние волны). Найти скорость таких волн с длиной $\lambda = 10$ м. Амплитуду волн считать малой.

В. В. Геоджавев

Ф1200. На столе стоит два одинаковых стакана, в один из которых напит горячий чай. Температура чай $t_0$. Чай требуется охладить до температуры $t_k$. Это можно сделать двумя способами:

1. сразу перелить чай во второй стакан и ждать, пока он остынет до температуры $t_k$;
2. ожидать, пока чай остынет до некоторой температуры $t_1$ такой, что после переливания во второй стакан температура чай сразу окажется равной $t_k$.

Какой способ быстрое? Известно, что теплотдача стакана с чем пропорциональна разности температуры стакана и окружающей среды, теплобмен между чем и стаканом происходит очень быстро. Теплоемкость стакана $C_0$, тепломкость чай $C$.

К. С. Ведое

Ф1201. Имеется нелинейный электронный прибор $\tilde{R}$. На рис. 2 приведен график зависимости тока через прибор от напряжения на нем (на участках 1—2 и 3—4 наклад графика очень велики). Собращены состояния из $\tilde{R}$, катушки с индуктивностью $L$ и батарейки с ЭДС, равной $U_0$ (прибор включают с «правильной» полярностью, соответствующей графику). Построить график зависимости тока в цепи от времени и найти период колебаний тока.

К. С. Ведое

Ф1202. При электрическом разряде в разреженном неоне (Ne) при комнатной температуре очень небольшая часть atoms неона распадается на электроны ионы (масса $M$ atoms неона в $4 \cdot 10^4$ раз больше массы $m$ электрона). Длина свободного пробета электронов (т. е. среднее расстояние, которое электрон проходит без соударения) $l = 0,1$ мм. Газ находится в электрическом поле с напряженной $E = 10$ В/см. Оценить «температуру» электронов, соответствующую их средней кинетической энергии. Постоянная Большима $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К, заряд электрона $e = -1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Д. А. Купцов