XXIII Всесоюзная олимпиада по математике

Квант 1989, №11 с. 65-67 Тег TODA

XXIII Всегоозная олимпиада по математике

Кандидат физико-математических наук
В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-математических наук
С. В. РЕЗНИЧЕНКО

В заключительном этапе XXIII Всегоозной математической олимпиады, проходившем с 15 по 22 апреля 1989 года в Риге, приняли участие 30 команд: 14 команд союзных ресурсных, по одной команде от каждой из четырех зон РСФСР, команды Москвы, Ленинграда, Риги и Рижского района и 8 команд специализированных школь-интернатов при ведущих университетах страны — 164 школьника (48 восемиклассников, 62 девятиклассика и 54 десятиклассика).

Как обычно участник олимпиады было предложено в каждой из двух туров по 4 задачи, на решение которых отводилось по 5 часов. Оценка сложности предложенных задач в баллах приведена в таблице 1.

В таблице 1 баллы характеризуют относительно сложность задач в пределах одного класса. В целом же, как позвольют заключить результаты проверки, задание для восемиклассников оказалось слишком сложным; задания для 9 и 10 классов оказались хорошо сбалансированы и по сложности, и по тематике, они понвалиись школьником, о чем свидетельствуют результаты проверки. О том, как участники справились с задачими олимпиады, можно узнать из таблицы 2, в которой указано число школьников, решших каждую из задач.

По окончании проверки каждой участник олимпиады мог ознакомиться со своей работы и обсудить с членами жюри своей ошибки, оценку, выступление за работу проверяющими. При этом иногда оценка работы изменялась. В таблице 3 приведены данные о количестве призеров по каждому классу.

Таблица 1

Задания
Класс
1 2 3 4 5 6 7 8
Сумма

8 7 6 10 7 6 8 8 8 60
9 5 6 10 9 6 7 8 9 60
10 5 7 9 9 5 7 8 10 60

Таблица 2

Задания
Класс
1 2 3 4 5 6 7 8

8 13 24 5 14 23 6 7 10
9 49 22 6 16 34 25 14 15
10 47 40 7 8 47 31 23 7

Таблица 3

Класс
8 9 10

Премия
I 3 4 2
II 9 10 11
III 9 11 7

Грамота, спецприз

Компьютерный турир.

традиционной встречы школьников с членами редколлегии журнала «Квант», математический боем между командами школьников и жорни. Впервые был проведен комьютерный турир, в котором участвовали 112 школьников — все, кто пожелал.

Работа оlimппады освещалась местной печатью, радиовещанием и телевидением. Культурная программа оlimппады включала экскурсии по Рите, в города Юрмалу, Елгаву и Бауску, на агрофирму «Аджи», в Этнографический музей, в Рундальский замок.

В целом оlimппада прошла на высоком научно-mетодическом уровне, была хорошо организована. Этому в немалой степени способствовала высокая квалификация ее устройелей из Латвии, в частности, четкая работа Оргкомитета по подготовке заключительного этапа оlimппады во главе с председателем Первым заметителем минстра народного образования Латвийской СССР т. Кубули-

ня Б. А. Хочеется сказать слова благодарности всем, кто помог организовать и провести Олимпiadу-89, в частности, спонсору оlimппады комплексному кооператиvy «Интер».

Приводим задачи заключительноготура.

Первый день
8 класс

Каждый из семи мальчиков в воскресеень 3 раза подходил к книску мороженого. Известно, что каждые два из них встречались около книска. Докажите, что в некоторых момент около книска одновременно встретились по крайней мере трое мальчиков.

А. Анджанс
2. Имеется 77 прямогольных брусков размером 3×3×1. Можно ли все эти бруски уложить в прямогольную коробку размером 7×9×11 (коробка с крышкой)?

А. Берзиныш
3. Пусть M — точка касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со стороны AB, T — произвольная точка стороны BC, отличная от вершины. Докажите, что три окружности, вписанные в треугольники BMT, MTA и ATC, касаются одной прямой.

А. Анджанс
4. Науральное число N имеетровно 12 делительей (включая 1 и N). Занутерем их в порядке возрастания: $d_1 < d_2 < ... < d_{12}$ . Известно, что делитель с номером $d_4$ — 1 равен произведению $(d_1 + d_2 + d_4)d_8$ . Найditе число N.

А. Берзиныш
9 класс

Имеется 2000 монет, из которых две — фальшивые: одна легче настояшей, а другая тяжелее. Как за четые взвешивания на цашечных весах без гирь установить, что больше: суммарный вес двух фальшивых монет или суммарный вес двух настояших монет; или же эти веса равны?

С. Августович
2. Докажите, что если a, b, c — длины сторона треугольника и a+b+c=1, то справедливо неравенство
$a^2 + b^2 + c^2 + 4abc < \frac{1}{2}.$

Д. Терёшин
3. На сторонах AB и CD выпуклочго четырехугольника ABCD взяты точки K и M соответственно. Пусть L — точка пересечения отрезков AM и KD, N — точка пересечения отрезков KC и BM.

а) Докажите, что если K и M — середины сторона AB и CD, то $S_{KLMN} < \frac{1}{3} S_{ABCD}$ .

Докажите, что если AK:KB=CM:MD=m:n, то
$S_{KLMN} < \frac{mn}{m^2 + mn + n^2} S_{ABCD}.$

Д. Терёшин

Из квадратков $1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3$ составили квадрат $23 \times 23$ . Какое наименьшее число квадратков $1 \times 1$ могло быть при этом использовано?

H. Агаханов

10 класс

При каком наименьшем натуральном $n$ уравнение

$\left[ \frac{10^n}{x} \right] = 1989$

имеет целое решение через $[a]$ обозначена целая часть числа $a$ , т. е. наибольшее целое число, не превысая ее $a$ ?

C. Гашков

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $D, E$ , и $F$ так, что $DE=BE$ и $FE=CE$ . Докажите, что центр описанной около треугольника $ADF$ окружности лежит на биссертрисе угла $DEF$ .

B. Протасов

На одной из двух данных пересекающих сфер взяты точки $A$ и $B$ , на другой — точки $C$ и $D$ . Отрезок $AC$ проходит через общую точку сфера. Отрезок $BD$ проходит через другую общую точку сфера и параллелен прямой, содержащей центры сфера. Докажите, что проекции отрезков $AB$ и $CD$ на прямую $AC$ равны.

H. Шарыzin

Два туриста находятся на одинаковой высоте (надувнем моря) в точках $A$ и $B$ , расположенных по разные сторонам от горной цепи. Путь по перевалу, соединяющий точки $A$ и $B$ , имеет форму ломаной, все вершины которой находятся выше ее концов $A$ и $B$ . Могут ли оба туриста пройти через весь перевал, оставясь в любой момент времени на одинаковой высоте?

E. Абакумов, Д. Фомин

Второй день

8 класс

На шахматной доске расставлены 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряде клеток стоит по одному фигурке. Докажите, что на черных клетках шахматной доски стоит четное число фигур.

B. Протезоволь

На сторонах $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ зеленой красной отметили соответственно точки $C_1, A_1$ и $B_1$ , отличные от вершин треугольника. Окзадось, что $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{CB_1}{B_1A}$ , а $\angle BAC = \angle B_1A_1C$ . Докажите, что треугольник с зелеными вершинами подбен треугольнику $ABC$ .

H. Шарыzin

В некоторых позициях $n \geq 3$ скворечников, причем все расстояния между скворечниками различны. В каждом из скворечников живет по скворцу. В каждом-то момент некоорды из них покинули свои скворечники и перелетели в другие так, что снова в каждом скворечнике оказалось по скворцу. При этом если расстояние между каждой-то парой скворцов было меньше расстояния между другой парой скворцов (один скворец может зачитывать в разных парах), то после перелета расстояние между парой скворцов стало больше

f(n) = f(f(n-1)) + f(f(n+1))?

E. Барabaноов, И. Воронович

Дан выпуклый многоугольник. Длина любого отрезка, соединяющего вершину этого многоугольника с некоторой точкой его границы и делается его площадь пополам, не превысая 1. Докажите, что площадь многоугольника меньше $\frac{\pi}{4}$ .

C. Анисов, Д. Туляков