Дифракция света на круглом отверстии

46

случаях говорят, что кристалл изotropен (в отличие от анизotropного случая, когда свойства тела в разных направлениях различны).*) При изменении формы элементарной ячейки (это может произойти, в частности, при изменении температуры) число элементов симметрины в ней уменьшается, и свойства кристалла резко меняются. Например, кубические кристаллы по своим упругим свойствам характеризуются всего tremя модулями упругости: скатия, сдвига и кручения. Если же элементарная ячейка имеет форму параллелепида, то число моделей упругости оказывается уже равным восемнадцати. Это, разумеется, те же самые модели скатия, сдвига и кручения, но они теперь разные по различным направлениям.

Совершенно аналогичная ситуация имеет место при тепловом расширении кристаллов. В то время как кристалл с кубической решеткой характеризуется одним-единственным коэффициентом теплового расширения, расширение кристаллов с более сложной формуlementной ячейки определяется уже tremя常态ами.

Интересно, что число формы, которые может иметь элементарная ячейка, ограничено. И связывано это вот с чем. Кристаллическая решетка по самому своему смыслу система перiodическая. Это означает, что при ее смещении, или, как говоря в физике, трансляции, на определенные расстояния (перiod) решетка совмещается с собой. Другими словами, с решеткой, в отличие от отдельно взятого тела, можно проводить специфическую операцию симметрики — трансляцию. Так вот, оказывается, что отпидь не любая форма элементарной ячейки согласно с трансляционной симметрией. Например, из правильных шестигранных при этом перiodической структуру построить можно, а из пятугранных — нельзя.

На сегодняший день предсказаны всевозможные типы кристаллических решеток, и про каждую из них более или менее известно, в каких направлениях она раскалывается легче, а в каких оказывается прочее, как кристаллы различной симметрики проводят теплло и как ведут себя в электронском поле, как по ним распространяется звук и возможен ли для них пыезозфект (возникновение зарядов на гранах кристалла при его деформации) и многое другое.

В заключение хотелось бы ещесказать о том, что заменательными свойствами кристаллов роль симметрики в физике относят не исчерпаваться. Наряду с темами симметрией обладают и физические законы. Различие состоит лишь в том, что тела симметричных относительной пространственных поворотов и отражений, а законы — относительно некоторых других операций. И если симметрия тел изучена практическими до конца, то роль симметрики законов природы еще далеко не выясена. Но есть основания полагать, что именно на этом пути нас ждут самые выдающиеся открытия.

Е. Е. Городецкий

Дифракция света на круглом ответсти

Хотелось бы начать с несколько странного, на первый взгляд, вопроса: всегда ли свет беспрерывственно проходит через ответствие? Понятно, что уже из самого тона вопроса следует ответить, что не всегда. Но все же, как ответствие может помещать чем-то? Пользовать «дедуктивным методом» (помните Шерлока Холмса?), можно смело сказать, что в принципе ответствие может влиять на что-либо двумя способами: или через него что-то не проходит, или проходит что-то лише.

Постараемся понять, что же такое это «что-то». Чтобы облегчить задачу, вспомним некоторые сведения о свете как о волне.

47

Электромагнитная волна, частным случайем которого является видимый свет, представляет собой распространение колбания электрического и магнитного полей (скорость распространения $c=3 \cdot 10^8$ м/c, длина волны, направер, для зеленого света $\lambda \sim 5 \cdot 10^{-7}$ м и частота колбания $\omega \sim 4 \cdot 10^{15}$ с$^{-1}$). Несмотря на то, что величины напряженности электрического (и магнитного) поля в каждой точке непрерывно меняется со временем, значения напряженности в каждой данный момент в двух различных точках однозначно связаны друг с другом. Так, если расстояние между двумя точками равно целому числу длины волн, или, что то же самое, четному числу полеволн, то напряженность в этих точках всегда равны друг другу. В точках, расстояние между которых равно нечетному числу полеволн, напряженность равны по величины, но противоположны по напрялению.

Из сказанного вытекает простое правило, позволяющее находить условия максимума и минимума освещенности при интерференции двух волн. Пусть когерентные источники синхронизированы таким образом, что напряженность электрического поля в точках расположения источников равны друг другу. В таком случае говорят, что источники колблются в фазе. Если расстояния $l_1$ и $l_2$ от источников до произвольной точки $L$ такое, что

$$|l_1 - l_2| = 2k \frac{\lambda}{2}, \quad k = 0, 1, 2, \dots,$$

т. е. разность хода равна четному

$$|l_1 - l_2| = 2k \frac{\lambda}{2}, \quad k = 0, 1, 2, \dots,$$

т. е. разность хода равна четному числу полеволн, колбания будут ослаблять друг друга и в точке $L$ будет минимум освещенности.

Исключительно важную роль в описании волновых явлений вообще и распространения света в частиности играет понятие волнового фронта. Так называют поверхность равной напряжности (ее еще называют поверхностью равной фазы или волновой поверхностью). Для каждой конкретного источника найти волновой фронт нетрудно. Для точного источника, например, поверхностями равной напряжности будут сферы, для светящейся нити — соосные цилиндры, для плоского источника — параллельные плоскости. А если известен волновой фронт, то дальнейшее распространение волны можно описать следующим образом. Согласно принципу Гюйгена, каждая точка является источником вторичных световых волн. Причем все эти источники когерентны и колблются в фазе. Тогда освещенность в произвольной точке пространства за волновым фронтом целиком определяется результатом интерференции этих вторичных волн.

В обшем случае расчет интерференционной картины — задача достаточно сложная. Поэтому даже в нашем простейшем случае проходения света через круглое отверстие мы ограничимся вычислением освещенности лишь в точке, лежащей на оси отверстия, перпендикулярной его плоскости (см. рис.ок).

Прежде чем перейти к конкретному расчету, обратим внимание на роль симметрии в наших расчедениях. О форме фронтов волны для различных источников мы договорались, конечно, из сообщений симметрии. Аналогично, выбор точки для определения освещенности связан с сим-

48

метричным расположением этой точки относительно отверстия и источника света.

Итак, посмотрите на рисунок. На нем изображен точный источник O монохроматического света, экран с круглым отверстием радиусом R и поверхности равной фазы (сине окружности). Нас интересует освещность в точке L, точнее — ее зависясть от радиуса отверстия.

Воспользовемся принципом Гойгенса и найдем освещность в точке L как результат интерференции вторичных волн, излученных всеми точками волновой поверхности S, касающейся экрана. Вычисления существно упростятся, если воспользоваться методом, предложенным Френелем.

Разбем волновую поверхность S на концентрическое зон — называемые теплер зонами Френеля — с центром на оси отверстия (опять же потому, что в силу симметрики расстояния от различных точек такой «кольцевой» зоны до точки L одинаковы). Причем выберем размеры зон таких, чтобы разность хода от двух соседних участков до точки L равная $\lambda/2$. Напряжениеэлектрического поля, создаваемого падающей волной, во всех точках волновой поверхности одинакова. Мы получили, таким образом, набор «кольцевых» вторичных источников, колблющся в фазе друг с другом. Поскольку площини всех зон Френеля одинаковы (несколько позже вы сможете это проверить самостояльно), то очевидно, что вторичные волны от соседних зон, складываясь, будут гасить друг друга. И в зависимости от того, четное или нечетное число умешается на отверстии, освещность в точке L будет близкой к нулю или максимальной. При этом максимальная освещность создается той единственной зоной, для которой не хватило пары.

Понятно, что приведенные здесь качественные расчедения примены лишь тогда, когда на отверстии укладывается не слишком большое число зон Френеля. Оценим радиус зоны. Пусть расстояния от источника до отверстия (a) и от верстия до точки наблюдания ($l_1$) порядка одного метра (немного большие или немного меньше — неважно, нас интересует только порядок величины),лина волны света $\lambda \sim 5 \cdot 10^{-7}$ м, радиус отверстия может меняться от величины порядка длины волны до сантиметра (такие отверстия для света уже можно считать бесконечно большими). Если расстояние от вершины волнового фронта $O'$ до точки L равно $l_1$, то первая зона ограничена точками волновой поверхности, расстояние от которых до точки L равно $l_1 + \lambda/2$. Выражая радиус зоны $r_1$ из прямогоЛЬных треугольников OBC и BCL, получим

$$r_1^2 = a^2 - (a - x)^2 = (l_1 + \lambda/2)^2 - (l_1 + x)^2.$$

Отсюда найдем величины x:

$$x = \frac{l_1}{a + l_1} \frac{\lambda}{2}$$

и радиус $r_1$:

$$r_1 = \sqrt{\frac{a l_1}{a + l_1}} \lambda.$$

В нашем случае

$$r_1 \sim \sqrt{\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}} 5 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0,5 \text{ мм}.$$

Таким образом, если радиус отверстия увеличивается, то до тех пор пока он будет меньше радиуса зоны, освещность в точке L будет растя. Затем, по мере «появления» второй зоны, волны начинают компенсировать друг друга, и освещность будет падать. И т. д.

В принципиме можно изготивать такую плоскинуку, которая перекрывала бы все четные или все нечетные зоны. Тогда все приходящие в точку L волны окажут в фазе и будут успливать друг друга (волны, которые приходит в противофазе, мы перекрыли). Получился прибор, вполне аналогичный линзе.

Итак, ответная на поставленный в начале заметки вопрос о том, что же «проходит» или «не проходит» в отверстие, можно сказать, что это — зоны Френеля.

E. E. Городецкий