Вниманию наших читателей

60

Решение. На рисунке 8 точки E, F делят сторону AB, а точки G, H — сторону DC на три равные части. Отрезки CM, GN, KP, LQ равны между собой и параллельны. Площадь параллельграма CMQL равна 4S, где S — площадь четырехугольника ABCD (это установливается так же, как при решении предыдущей задачи). Далее, площадь параллельграма KGNP равна 2(p+r), где p, q, r — площади частей, на которые отрезки GE и HF делят площадь S четырехугольника ABCD. Так как отрезок KG параллелен отрезку LC и второе меньше его, площадь параллельграма KGNP второе меньше площади параллельграма CMQL, т. е. 2(p+r) = $\frac{1}{3} \cdot 4S$, и потому p+r = $\frac{2}{3} S$. Следовательно, q = $\frac{1}{3} S$ (поскольку p+q + r=S), что и требовалось доказать.

Приведем теперь несколько задач для самостоятельного решения.

6. Докажите, что с помощью центрально симметричных шестиугольников (произвольной формы, даже невыпуклы) можно застелить паркетом плоскость так, что любые два шестиугольника популяются друг из друга параллельным переносом.

7. Докажите, что паркет из четырехугольников можно получить следующим образом: застилается паркет из шестиугольников, как указано в задание 6, а затем во всех шестиугольниках проводятся через центры параллельные диагонали.

8. Докажите, что если в выпukлом четырехугольнике одна из средних линей делит его площадь пополам, то этот четырехугольник — трапеця. Если же средние линей делят площадь пополам, то четырехугольник является параллельным.

9. В выпukлом четырехугольнике диагональ не проходит через точку пересечения средних линей и делится средними линейами на три отрезка, крайние из которых равны. Докажите, что вторая диагональ проходит через точку пересечения средних линей.

10. Докажите обратное утверждение: если в выпukлом четырехугольнике одна диагональ проходит через точку пересечения средних линей, то вторая диагональ, если она не проходит через эту точку, делится средними линейами на три отрезка, крайние из которых равны.

11. Докажите, что если в выпukлом четырехугольнике сумма длины средних линей равна его полуперimetру, то этот четырехугольник — параллельным.

12. Докажите, что если в выпukлом четырехугольнике сумма расстояний от точки пересечения средних линей до вершин равна сумме длины его диагоналей, то этот четырехугольник — параллельным.

Внимание наших читателей

Магазин № 3 «Академика» г. Москвы высылает наложенным платежом книги издательства «Наука»:

Ветров Г. С. С. П. Королев в авации. Идеи. Проектики. Конструуки. (История науки и техники).—1988.—55 к.

Вихман Э. Квантовая физика. Учебное руководство. Пер. с англ. Изд. 3-е, испр. (Berkleевский курс физики. Т. 4).—1986.—1 р. 20 к.

Воспоминания об академике Л. А. Арцимовце. Изд. 2-е.—1988.—2 р. 70 к.

Глушков В. М. Основы безумной информацией. Изд. 2-е, испр.—1987.—2 р. 60 к.

Гурский И. П. Элементарная физика с примерами решения задач.—1989.—1 р. 10 к.

Информация и научно-технический процесс. (Кибер-нетика — неограниченные возможности и возможности ограничения).—1987.—65 к.

Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции.—1987.—2 р. 30 к.

Кириллин В. А. Странцы истории науки и техники. Изд. 2-е. (Наука. Мировозрение. Жизнь).—1989.—2 р. 80 к.

Кирисанов В. С. Научная революция XVII в.—1987.—2 р. 70 к.

Компьютер и задачи выбора. (Кибернетика — неограниченные возможности и возможности ограничения).—1989.—80 к.

Кушниренко А. Г., Лебедев Г. В. Программирование для математikов.—1988.1 р. 10 к.

Математika для технических науки. Алебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2.—1988.—50 к.

Новосельцев В. Н. Организм в мире технически. (Проблемы науки и технического проресеса).—1989.—85 к.

Савельев И. В. Курс общеей физики. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика.—1988.—1 р. 20 к.

Сонин А. С. Дороза длиной в век: из истории открытия и исследований жидких кристаллов. (История науки и техники).—1988.—55 к.

Хазен А. М. О невозможном в наuke, или Где границы моделирования интеллекта. (Проблемы науки и технического проресеса).—1988.—1 р. 50 к.

Эйштейнновский сборник 1984—1985 г.—2 р. 20 к.

Заказы направляйте по адресу: 117393, Москва, ул. Академика Пилогина, д. 14, корп. 2, магазин № 3 «Академика», «Книга — почтой».