Решения задач М1166—М1169; Ф1178—Ф1182

25

Решения задач
M1166 — M1169, Ф1178 — Ф1182

Заменяя при необходимости $p, q, r$ на противоположные, мы можем свести дело к случайю, когда два из чисел $p, q, r$, например $p$ и $q$, неположительные, а треtte (число $r$) неоричительно. По неравенству треугольника $c^2 \geq (a-b)^2$, следовательно,
$$a^2 pq + b^2 qr + c^2 rp \leq a^2 pq + b^2 qr + (a-b)^2 rp = a^2 p(q+r) + b^2 r(q+p) - 2abrp = -(ap+br)^2 \leq 0.$$
Я. Ш. Мустафаев

M1167. Сколько существует перестановок чисел $1, 2, ..., n$, в которых для любого числа $i$, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$ и $i+1$ находится левее $i$?

Ответ: $2^{n-1}$. Пусть на первом месте стоит число $k$. Заметим, что если $k > 1$, то числа $k-1, k-2, ..., 1$ стоит в нашей перестановке в порядке убывания (если двигать слева направо). Действительно, по условию левее числа 1 должно стоять 2, левее 2—1 или 3, т. е. 3, левее 3—2 или 4, т. е. 4 и т. д. Аналогично, при $k < n$ числа $k+1, k+2, ..., n$ стоит в порядке возрастания, так как левее $n$ должно быть $n-1$, левее числа $n-1$ — число $n-2$ и т. д. Следовательно, любая из расстатриваемых перестановок однозначно задается набором мест, занимаемых числами $1, 2, ..., k-1$ (таких мест может вообще не быть, если $k=1$, т. е. для перестановки $1, 2, ..., n$). Количество этих наборов равно количество подмножества множества из $n-1$ элементов — всех мест, кроме первого, т. е. $2^{n-1}$.

А. В. Анджанс

M1168*. В стране 1989 годов и 4000 годов (каждая дорога соединяет два города). Доказите, что можно выбрать кольцевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.

Назовем город «захолустным», если из него идет не более 2 дорог. Сотрем с карты страны кольцевой захолустный город, если такой имеется, вместе с выходящими из него дорогами. Подчисим таким же образом новую карту и будем продолжать стирание захолустных городов, пока они не исчезнут. Число дорог, которые мы при этом можем стереть, не превосходит 2·1989, что меньше чем 4000; поэтому хотя один город останется.

Выберем левой из оставшихся городов. Из него, как и из других оставшихся городов, выходит по меньшей мере 3 дороги. Пойдем по одной из них и каждый раз, приходя в новый город, будем дивится дальше по одной из дорог, отличных от дороги, по которой мы пришли. Если какие-нибудь 2 маршрута, состоящие не более чем из 10 дорог, закончится в одном городе, то мы получим искомый кольцевой маршрут не более чем из 20 дорог (см. рисунок). Но иначе и быть не может, потому что число всех таких маршрутов не меньше чем $3+3\cdot 2+3\cdot 2^2+...$

26

…+3 · 2^9=3069, а число городов, т. е. возможных концов этих маршрутов, — не больше 1989.

Это решение можно обобщить на случай $n$ городов и $m$ дорог. В результате «подистки» карты остатуса города, из которых выходит не менее чем по $s$ дорог, где $s$ — наименьшее число такое, что $s \geq m/n$. А расчудение с непересекающимся маршрутами позволяет доказать существование цикла (кольцевого маршрута) из $l$ дорог, где

$$l \leq 2[\log_{s-1} \frac{n(s-2)+2}{s} +1]$$

(квадратные скобки означают целую часть числа). В частности, при $n=1989$ и $m=4000$ мы получаем $s=3$ и $l \leq 20$.

Интересен и другой вопрос: при каком числе дорог $m$ между $n$ городами удалется найти систему дорог, не содержащую циклов длины $d$? С помощью довольного сложной оценки среднего числа дорог в такой системе можно показать, что это возможно при

$$m < p \left( \frac{n(n-1)}{2} - \frac{n^2}{2d} \right),$$ где $p=n^{-\frac{d-2}{d-1}}$.

А. А. Разборов

M1169. Пусть $M$ — точка, лежащая внутри прямой ABCD, $S$ — его площадь. Доказите неравенство $S \leq AM \cdot CM + BM \cdot DM$.

Ясно, что площадь прямогоЛЬника вдвое больше суммы площадей треугольников AMD и BMC. (Для доказательства достаточно проверить через $M$ прямую, параллельную $AD$, и затем, что площадь каждого из двух образованных прямого/Lльника.) Пристрюм к стороне $AD$ треугольник AND, равный CMB так, что $AN=CM$, $DN=BM$ (см. рис.ок). Тогда

$$S = 2(S_{AMD} + S_{BMC}) = 2S_{AMDN} = 2S_{AMN} + 2S_{DMN} \leq AM \cdot AN + DN \cdot DM = AM \cdot CM + BM \cdot DM,$$

что и требовалось доказать.

И. Я. Гольдшейд

Ф1178. В пространстве падает лист фанеры. Оказалось, что в некоторых момент времени скорости двух точек листа $a$ и $b$ одинаковы — $\vec{v}_a = \vec{v}_b = \vec{v}$ — и лежат в плоскости листа. Оказалось также, что ско-

Представим сложное движение всех точек листа фанеры в указанный момент времени как сумму двух простых движений — поступательного вместе с точками $a$ и $b$ (а значит, и вместе с прямой $ab$) и врашательного относительно оси $ab$.

Рассмотрим точку $c$. Вектор ее скорсти $\vec{v}_c$ складывается из вектора $\vec{v}$, отвечающего поступательному движению, и вектора $\vec{v}_{bp}$, отвечающего врашательному

27

рост точки листа с, находящаяся от точке a и b на расстоянии, равных расстоянию между точками a и b, в два раза больше скорости v. Где в данной момент на листе находится точки, скорости которых равны 3v?

Рис. 1.

Рис. 2.

Движению, причем векторы $\vec{v}$ и $\vec{v}_{\text{bp}}$ — взаимно перпендикулярины (рис. 1):

$$\vec{v}_c = \vec{v} + \vec{v}_{\text{bp}},$$
или $v_c^2 = v^2 + v_{\text{bp}}^2.$

Поскольку $v_c = 2v$, получаем

$$v_{\text{bp}} = \sqrt{3}v.$$

Найдем теперь расстояние от точки c до прямой ab. Точки a, b и c являются вершинами равностороннего треугольника (рис. 2). Обозначим его сторону, например ab, через l. Тогда интересующое нас расстояние

$$d = l \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Очевидно, что искомые точки листа фанеры, скорость которых по модулю в 3 раза больше v, лежат на двух прямых, параллельных оси ab и нахождения от нее на некотором расстоянии L. Чтобы найти это расстояние, поступим следующим образом. По аналогии с точкой c, выразим скорость искомых точек как сумму перпендикулярных друг друга скоростей $\vec{v}$ и $\vec{v}'_{\text{bp}}$:

$$(3v)^2 = v^2 + (v'_{\text{bp}})^2,$$

откуда получаем

$$v'_{\text{bp}} = 2\sqrt{2}v.$$

Теперь сравним между собой скорости $v_{\text{bp}}$ и $v'_{\text{bp}}$. С одной стороны,

$$\frac{v_{\text{bp}}}{v'_{\text{bp}}} = \frac{\sqrt{3}v}{2\sqrt{2}v} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},$$

с другой —

$$\frac{v_{\text{bp}}}{v'_{\text{bp}}} = \frac{d}{L} = \frac{l\sqrt{3}/2}{L}.$$

Таким образом,

$$\frac{l\sqrt{3}/2}{L} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},$$
и $L = l\sqrt{2}$.

К. С. Сергеев

Ф1179. Если молния во время грозы попала в воду, то после грозы на озере иногда видят всплышую мертвую рыбу. Как это обязанить? Ведь вероятность попадания молнии в отдельно взятую рыбу низкого мала.

Рыбу убивает, конечно же, не прямое попадание молнии, а электрический ток, который при этом проходит через воду. По мере удаления от места попадания молнии плотность тока спадает. Разность потенциальов, возникшая на тульвище рыбы, пропорциональная величины тока и определенная плотность тока через воду. Погибает та рыба, которая находится в области, где плотность тока превышает критическую величины. Характерный размер этой области составляет от нескольких метров до нескольких метров,

28

И в этой опасной зоне вполне может оказаться несколько рыбин.

В некоторых случаях сходная ситуация может возникнуть при обращение высокого напряжения и падании его на землю. В этом случае плотность тока, текущего по земле, растет по мере приближения к месту падания провода. Степень опасности для человека характеризуется здесь так называемым «шаговым напряжением» — напряжением, возникающем между ступнями человека при контакте с землей. Ясно, что маленькие шаги приводят к меньшему шаговому напряжению — именно поэтому выходит из опасной зоны, где уплотровод, надо небольшим шагами.

А. И. Буздин

Ф1180. Лампочка, подсоединная к батареике, горит три часа, после чего батареика полностью разряжается. Сделали копию этой батареики вдвое больших линейных размеров из тех же материалов. Сколько времени будет гореть та же лампочка, подключенная к такой копии? Внутреннее сопротивление батареики много меньше сопротивления лампочи.

Поскольку электродвижущая сила химического источника тока определяется только его химическим составом, ЭДС копии будет равна ЭДС батарейки. Пусть эта ЭДС равна $\mathcal{E}$, сопротивление лампочи равно $R$ и внутреннее сопротивление источника — $r$. Тогда полная мощность, выделяющая в цепи батарейки, равна $P_1 = \mathcal{E}^2 / (R + r_1)$, а в цепи копии — $P_2 = \mathcal{E}^2 / (R + r_2)$. Так как $r_1 \ll R$ и, следовательно, $r_2 \ll R$,

$$P_1 \approx P_2 \approx \frac{\mathcal{E}^2}{R}.$$

Химический источник тока совершает работу, расходя запасенную в нем энергию химических веществ. По сравнению с батарейкой в копии заключено в $2^3 = 8$ раз больше реагентов, поэтому при такой же мощности она может совершить во столько же раз большую работу. Это означает, что лампочка, подключенная к копии, будет гореть 24 часа.

К. С. Бедов

Ф1181. Жесткое тонкое проводящое колючит на непроводящей горизонтальной поверхности и находится в однородном магнитном поле, линии индекции которого горизонтальные. Масса колюца $m$, радиус $R$, величины индекции $B$. Какой силы ток нужно пропустить по колючу, чтобы оно начало приодниматься?

Рассмотрим колюцо, когда оно еще занимает горизонтальное положение (см. рисунок; на нем изображен вид сверху). Выделим на нем величину точек $C$ и $D$ два небольших участка длиной $\Delta l$ каждой, расположенных симметрично относительно диаметра колюца $AB$. На первый участок действует направленная вертикальная вниз сила

$$\Delta F_1 = BI \Delta l \sin \alpha = BI \Delta x,$$

где $\Delta x$ — проекция отрезка $\Delta l$ на направление диаметра $AB$. На второй участок действует направленная вертикальная вверх сила

$$\Delta F_2 = BI \Delta l \sin \alpha = BI \Delta x.$$

29

Эти силы, одинаковые по модулю и направленные в противоположные стороны, представляют собой пару сил, которая создает относительно оси $AB$ врашательный момент

$$\Delta M = \Delta F_1 l_{CD} = BI \Delta x l_{CD} = BI \Delta S,$$

где $\Delta S$ — площадь затрихованной на рисунке части контура.

Разобъем все колюцо на аналогичные пары небольших участков, расположенных симметрично по отношению к диаметру $AB$. Тогда мы получим, что на тонкое проводаще колюцо с током $I$, находящемся в горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$, будет действовать момент магнитных сил, равный

$$M_{\text{магн}} = BIS = BI \pi R^2.$$

Он врашает колюцо вокруг горизонтальной оси $AB$.

Когда колюцо будет находиться на грани подъема, преястовать его врашению будет две механические силы — сила тяжесте $mg$, приложенная в центре колюца и направления вертикального вниз, и сила нормальной реакции $N$, приложенная в точке касания колюца и плоскости и направления вертикального вверх. Поскольку колюцо все еще находится в равновесии,

$$mg - N = 0, \text{ т. е. } N = mg,$$

так что механические силы образуют свою пару сил, которая создает свой врашательный момент

$$M_{\text{мек}} = mgR.$$

Из равновесия колюца следует, что суммарный момент всех сил — в нашем случае это сумма моментов магнитных и механических сил — равен нулю:

$$M_{\text{магн}} - M_{\text{мек}} = 0, \text{ или } BI \pi R^2 - mgR = 0.$$

Отсюда находится значение силы тока:

$$I = \frac{mg}{\pi BR}.$$

С. С. Кротов

Ф1182. При проведении радиолокации Луны, взошедшей над горизонтом, чтобы обеспечить вернуто направленность, излучатель высокочастотных радиосценалов был сопряжен с оптическим телескопом. Однако при наличии оптического изображения Луны отсутствовал отраженный радиосценал. В то же время, когда удавалось получить отраженный ра-

Описанное явление действительное имею место — автор столкнулся с ним при исследовании канала связываи, в котором Луна использовалась в качестве пассивного отражателя радиосистелов. При этом антенна, сопряженная с оптическим телескопом, предназначалась не для работы с Луной, а для приема спутникового телевидения.

Когда Луна всходит над горизонтом, очень существенно рефраクция света, т. е. искривление световых лучей за счет преломления в атмосфере. (Вспомните, например, как сильно искажают форма и размеры Луны и Солнца, когда они находится невысоком над горизонтом.) Для радиоволн (использовая сант-