Bài toán M2450—M2453; F2457—F2460

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2451 – M2453 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXVIII. Bài toán F2457–F2460 đã được đưa ra vào năm 2016 tại Olympic Vật lý mở rộng Thành phố St. Petersburg dành cho học sinh.

Bài toán M2450–M2453, F2457–F2460

M2450. Cho tam giác ABC. Trên tia AB, chúng ta đánh dấu một điểm $C_{1}$ sao cho $AC_{1} = =$ AC, trên tia BC sao cho một điểm $A_{1}$ sao cho $BA_{1} = =$ BA, trên tia CA sao cho $B_{1}$ sao cho $CB_{1} = CB$; trên tia BA, chúng ta đã đánh dấu một điểm $C_{2}$ sao cho $BC_{2} = BC$, trên tia CB một điểm $A_{2}$ sao cho $CA_{2} = CA$, trên tia AC sao cho một điểm $B_{2}$ sao cho $AB_{2} = AB$ (hình1). Chứng tỏ nó xấu

dọc theo các đường của lưới vuông. Ông đã kiểm tra rằng nó có thể được cắt dọc theo ranh giới của các ô thành 2 đa giác bằng nhau và 25 đa giác bằng nhau. Sau đó có cần thiết phải cắt nó dọc theo ranh giới của các ô và thành 50 đa giác bằng nhau không? E. Bakaev

M2452. Có thể cắt một hình vuông có cạnh 1 thành hai phần và che chúng bằng bất kỳ hình tròn nào có đường kính lớn hơn 1 không? A. Shapovalov

M2453. Thẻ đỏ 2016 và thẻ xanh 2016 đều có ghi số dương, chúng đều khác nhau. Người ta biết rằng tổng theo cặp của khoảng 64 số được viết trên các thẻ cùng màu và tích từng cặp của 64 số giống nhau được viết trên các thẻ có màu khác. Có phải lúc nào cũng có thể xác định được những thẻ màu nào có tổng cặp trên chúng không? B.Frenkin

Hình 1

Diện tích của tam giác ABC bằng một nửa tổng diện tích của các tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ và $A_{2} B_{2} C_{2}$. P. Xoăn M2451. Petya vẽ một đa giác có diện tích 100 ô, vẽ ranh giới

F2457. Một tàu chở nhiên liệu hết nhiên liệu khi còn cách cảng L = 100 km. Để đến đích, thuyền trưởng quyết định sử dụng hàng hóa làm nhiên liệu cho tàu chở dầu. Cần phải tiêu tốn ít nhất bao nhiêu tấn nhiên liệu để đến cảng theo đường thẳng? Tốc độ của tàu chở dầu phụ thuộc

23

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

bài viết. Chúng tôi sẽ trình bày lý luận hình học sau đây, từ đó chúng tôi có thể rút ra sự bảo toàn diện tích. Chúng ta hãy xem xét một hình thang cong - một “tỷ lệ” có chiều rộng t, được giới hạn bởi các đường thẳng đứng cách nhau một khoảng t và các parabol $y = x^{2} + b, y = x^{2} + b + s$, trong đó s > 0 (hình5). Khi đó diện tích của vảy là ts.

Hình 5

Bài tập 5: Chứng minh điều đó. Gợi ý. Cắt cân theo chiều ngang thành từng mảnh, sắp xếp lại chúng để tạo thành hình chữ nhật $t \times s$.

Trong quá trình quay parabol, bất kỳ đường thẳng đứng nào cũng bị dịch chuyển k theo chiều ngang, điều đó có nghĩa là vảy của chúng ta sẽ biến thành một vảy mới có cùng chiều rộng t, được kẹp giữa các parabol giống nhau. Như chúng ta thấy, diện tích của lớp vảy mới cũng bằng ts. Vì vậy, diện tích của thang đo được kẹp giữa các đường thẳng đứng và parabol có dạng $y = x^{2} + c$ được giữ nguyên. Bạn có thể tạo một lưới “đường cong” mịn từ các tỷ lệ như vậy (hình6) và ước chừng một giá trị nhất định

(Xem phần đầu ở trang 9) Trong Vũ trụ sơ khai, những chuyển pha rất lớn đã diễn ra, sự phân rã của chân không và sự ra đời ngày càng nhiều hạt mới từ nó. Sự tiến hóa của Vũ trụ là một quá trình không cân bằng và không thể đảo ngược. Nhà vật lý đầu tiên nghiêm túc chú ý đến vấn đề này là Georgy Gamow, người cùng với các sinh viên của mình đã tìm ra mối quan hệ giữa lượng nguyên tố nhẹ của hệ Mendeleev trong Vũ trụ, dự đoán sự tồn tại của bức xạ nền vi sóng vũ trụ và ước tính chính xác nhiệt độ của nó. Nhưng đó lại là một câu chuyện khác…

“QUANTA”

Hình 6

hình bằng một tập hợp tỷ lệ (tương tự như cách, khi xác định diện tích của các hình phức tạp, hình được tính gần đúng bằng một tập hợp các ô của một lưới vuông mịn) - và suy ra việc bảo toàn diện tích cho tỷ lệ để bảo toàn diện tích cho bất kỳ hình nào. Vậy là cả ba điểm chính của lời giải đã sẵn sàng, giờ chỉ còn là chuyện nhỏ thôi.

Bài tập

6. Lập dạng tương tự của Bài tập 2, chứng minh và hoàn thành lời giải bài toán trên parabol. 7. Xây dựng và chứng minh sự thật về phần giữa của đoạn thẳng, tương tự Bài tập 3.

Để kết luận, chúng tôi mời người đọc đưa ra bài toán không gian tương tự về các hình elip, hyperboloid, paraboloid và các khối bị cắt bởi các mặt phẳng tiếp tuyến.

Văn học

1. Những bức thư và bản thảo của A. Friedmann trong kho lưu trữ của P. Ehrenfest (www.lorentz.leidenuniv.nl/ history/Friedmann_archive/) 2. A. A. Friedman. Thế giới như không gian và thời gian (tái bản lần thứ 5) (M.: Librocom, 2009) 3. Số tạp chí “Uspekhi Fizicheskikh Nauk”, dành riêng cho lễ kỷ niệm 75 năm Friedman (tập 80, v. 3, 1963) 4. E.A. Tropp, V.Ya. Frenkel, AD Chernin. Alexander Alexandrovich Fridman: Cuộc sống và hoạt động (tái bản lần thứ 2) (M.: KomKniga, 2006) 5. A. Belenky. “Vùng nước tôi đang đi vào chưa bao giờ được vượt qua trước đây.” Alexander Friedman và nguồn gốc của vũ trụ học hiện đại (tạp chí điện tử “Science from First Hands”, Số 5(47), 2012) 6. V.O. Solovyov. Friedman đã đào tạo Einstein như thế nào (tạp chí Naukograd, số 4(6), 2015) 7. M.V. Sazhin. Vũ trụ học hiện đại trong một bài thuyết trình phổ biến (M.: URSS, 2002) 8. A.D. Dolgov. Vũ trụ học: từ Pomeranchuk đến ngày nay (UFN, tập 184, 2014)