Giải đấu thành phố XXXVIII

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXVIII

Bài toán chuyến du lịch mùa thu (2016)

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1. (4)^{1}$

Chúng tôi lấy năm số tự nhiên và với mỗi số đó chúng tôi viết tổng của chúng. Có thể nào tất cả 10 tổng kết quả đều có kết thúc bằng các số khác nhau? M. Evdokimov

2. (4) Có bốn điểm được đánh dấu trên đường thẳng và một điểm nữa được đánh dấu bên ngoài đường thẳng. Có tổng cộng sáu hình tam giác có đỉnh tại các điểm này. Số lượng lớn nhất trong số chúng có thể là cân là bao nhiêu? E. Bakaev

3. Có 100 điểm được đánh dấu trên một vòng tròn. Những điểm này được đánh số từ 1 đến 100 theo một thứ tự nào đó. a) (2) Chứng minh rằng, với mọi cách đánh số, các điểm có thể chia thành các cặp sao cho các đoạn nối các điểm trong các cặp không cắt nhau và mọi tổng trong các cặp đều là số lẻ. b) (2) Có đúng là với bất kỳ cách đánh số nào cũng có thể chia các điểm thành từng cặp sao cho các đoạn nối các điểm trong các cặp không cắt nhau và tất cả các tổng trong các cặp đều là số chẵn? P.Kozhevnikov

4. (5) Cho hình bình hành ABCD và điểm K sao cho AK = BD. Điểm M là trung điểm của CK. Chứng minh rằng $\angle$ BMD $= 90 ^\circ$. E. Bakaev

5. (5) Một trăm chú gấu con tìm thấy quả mọng trong rừng. Con út lấy được 1 quả, gấu con lớn hơn lấy được 2 quả, con tiếp theo lấy được 4 quả, v.v., và con lớn nhất lấy được

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán số điểm tối đa được trao cho lời giải được biểu thị. Kết quả được tóm tắt theo ba nhiệm vụ đã đạt được kết quả tốt nhất.

có $2^{99}$ quả mọng. Con cáo gợi ý rằng họ nên chia quả mọng một cách “công bằng”. Cô ấy có thể đến gần hai đàn con và chia đều quả mọng cho chúng, đồng thời nếu có thêm quả mọng thì cáo sẽ ăn quả đó. Cô ấy tiếp tục những hành động như vậy cho đến khi tất cả đàn con có được phần quả mọng bằng nhau. Số quả mọng nhỏ nhất mà một con cáo có thể để lại cho đàn con là bao nhiêu? E. Bakaev

lớp 10–11

1. (4) Hai parabol có đỉnh khác nhau là đồ thị của tam thức bậc hai với hệ số p và q cao nhất. Biết rằng đỉnh của mỗi parabol nằm trên một parabol khác. p + q có thể bằng bao nhiêu? N. Sedrakyan

2. (5) Xem bài toán M2448 “Bài toán Kvant”. 3. (5) Xem bài toán 5 dành cho lớp 8-9 với câu hỏi: “Con cáo có thể ăn được bao nhiêu quả mọng?” 4. (5) Xem bài toán M2451 “Bài toán Kvant. 5. (6) Xem bài toán M2447 “Bài toán Kvant.

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. (5) Xem bài toán M2446 và “Bài toán Kvant”.

2. (5) Vào mỗi ô của bảng 8 ¥ 8, viết một số tự nhiên. Hóa ra là bất cứ khi nào bàn cờ được cắt thành các quân domino, tổng các số trong tất cả các quân domino sẽ khác nhau. Có thể nào số lớn nhất ghi trên bảng không quá 32? N. Chernyatyev

3. (6) Một tam giác tùy ý được cắt thành các tam giác bằng nhau bằng các đường thẳng song song với các cạnh (như hình vẽ).

53

Thế Vận Hội

b) (6) Giải tương tự bài toán nếu có 12 phương án đáp số cho mỗi câu hỏi. I. Mitrofanov, A. Kanel-Belov

lớp 10–11

1. (5) Xem bài toán M2446,b “Bài toán Kvant.

hình). Chứng minh rằng trực tâm của sáu tam giác tô đậm nằm trên cùng một đường tròn. E. Bakaev

4. (8) Một hộp sôcôla hình vuông được chia thành 49 ô vuông bằng nhau. Mỗi ô chứa một viên kẹo sô cô la - đen hoặc trắng. Trong một lần ngồi, Sasha có thể ăn hai viên kẹo nếu chúng cùng màu và nằm trong các ô cạnh bên hoặc góc. Số kẹo lớn nhất mà Sasha chắc chắn sẽ ăn là bao nhiêu, bất kể kẹo được xếp vào hộp như thế nào? A. Kuznetsov

5. (8) Ba tấm thẻ đỏ và ba tấm thẻ xanh có ghi sáu số dương, tất cả đều khác nhau. Người ta biết rằng tổng theo cặp của một số ba số được viết trên các thẻ cùng màu và tích từng cặp của ba số giống nhau được viết trên các thẻ có màu khác nhau. Có phải luôn luôn có thể xác định được ba con số này một cách chắc chắn? B.Frenkin

6. (9) Cho 2n-giác đều đặn

$A_{1} A_{2}^{…} A_{2n}$ với tâm O và $n \ge 5$. Các đường chéo $A_{2} A_{n} -_{1}$ và $A_{3} A_{n}$ cắt nhau tại điểm F, $A_{1} A_{3}$ và $A_{2} A_{2} n_{-} 2$ tại điểm P. Chứng minh rằng PF = PO.

M. Timokhin

7. a) (5) Một nhóm người đã hoàn thành một bản khảo sát bao gồm 20 câu hỏi, mỗi câu có thể trả lời hai đáp số. Sau cuộc khảo sát, hóa ra là đối với 10 câu hỏi bất kỳ và bất kỳ sự kết hợp nào của đáp số cho những câu hỏi này, sẽ có một người đưa ra chính xác đáp số cho những câu hỏi này. Có nhất thiết phải có hai người có đáp số không khớp với bất kỳ câu hỏi nào không?

8. (5) Xem bài toán 2 cho lớp 8 – 9.

9. (7) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Ω tâm O và O không nằm trên các đường chéo của tứ giác. Đường tròn ngoại tiếp $Ω_{1}$ của tam giác AOC đi qua trung điểm của đường chéo BD. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $Ω_{2}$ của tam giác BOD đi qua trung điểm của đường chéo AC.

A. Zaslavsky

4. (8) Xem bài toán M2453 “Bài toán Kvant”.

5. (9) Xem bài toán M2452 “Bài toán Kvant”.

6. (9) Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Đầu tiên, Petya hình dung một đa thức P(x) nhất định với các hệ số nguyên. Tiếp theo, một số động thái được thực hiện. Để đi một nước đi, Vasya trả cho Petya một đồng rúp và đặt tên cho bất kỳ số nguyên a nào mà anh ta vẫn chưa đặt tên, và Petya trong đáp số cho biết phương trình P ( x ) = a có bao nhiêu lời giải số nguyên. Vasya thắng ngay khi Petya gọi cùng một số hai lần (không nhất thiết phải liên tiếp). Số rúp nhỏ nhất sẽ đủ để đảm bảo Vasya giành chiến thắng là bao nhiêu? A.Mudgal

7. (12) Xem bài toán M2449 “Bài toán Kvant”. Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Dorichenko, L. Mednikov